No.2ベストアンサー
- 回答日時:
#1のものです。
>ただ一つ疑問なのですが、
>証明すべき右辺の総和はΣn=1,∞なので、
>整理する際に
>Σk=1,nとΣn=1,∞をΣk=1,∞と一つにまとめ、
>式中のnは全てkと置き換え(n=kとする)ました。
いけません。
まず、f(x)をフーリエ級数展開した式ではΣm=1,∞と文字を変えて置くべきでしょう。前のΣで文字nが使われていますので避けたほうがよい。
次に、(1,2)でn→∞とした極限が求める式ですので(1,2)と証明する式はそのままでは一致しません。
Σ[k:1→n]Σ[m:1→∞]{・・・}
では、m=k以外の項が全て0になりますので
Σ[k:1→n]Σ[m:1→∞]{・・・}=Σ[k:1→n]{・・・でm=kとしたもの}
と変形することはできます。
このように変形してからn→∞の極限をとればよいでしょう。
No.1
- 回答日時:
(1.1)の式にf(x)をフーリエ級数で表した式を代入すれば出てきます。
確かにΣが二つ出てきますが問題ありません。
一つの項を除き全て"0"になります。
実際に
∫[x:-π→π]cos(mx)cos(kx)dx
と
∫[x:-π→π]sin(mx)cos(kx)dx
と
∫[x:-π→π]sin(mx)sin(kx)dx
を計算してみてください。
見づらい問題ながら、回答ありがとうございます。
>実際に
>∫[x:-π→π]cos(mx)cos(kx)dx
>と
>∫[x:-π→π]sin(mx)cos(kx)dx
>と
>∫[x:-π→π]sin(mx)sin(kx)dx
>を計算してみてください。
上から
m=kのとき"π"、
mとkの関係を問わず"0"、
m=kのとき"π"、
でよろしいでしょうか?
実際に代入して解いていくと、次の項が残りました。
cos(nx)cos(kx)、sin(nx)sin(kx)
これらの項を和・差に直し、整理した結果答えに辿りつけました!
ただ一つ疑問なのですが、
証明すべき右辺の総和はΣn=1,∞なので、
整理する際に
Σk=1,nとΣn=1,∞をΣk=1,∞と一つにまとめ、
式中のnは全てkと置き換え(n=kとする)ました。
このような総和の統合(?)を行っても良かったのでしょうか…?
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