ウォーターサーバーとコーヒーマシンが一体化した画期的マシン >>

タイトルの通りです。
高2です。先生や友達に聞いても、「説明しにくい・・」と言われて納得いく答えがかえってきません。
√4=±2ですよね!?
よろしくおねがいします。

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A 回答 (9件)

>実数に限定されての話ですが、どうして+2だけなのでしょう・・


ああ,なるほど。やっと元の質問の意味が分かりました。
これは,「xの平方根」と「√x」との関係に似ています。

以下の話ではすべて,xは正の実数とします。

まず,2乗してxになる数は2つあります。この数を(両方あわせて)xの平方根といい,そのうち正のほうを√xと書きます。もう一つのほうは-√xになります。

同様に,4乗してxになる数は(複素数の範囲で考えると)4つあります。この4つの数をxの4乗根といい,そのうち正の実数のものを[4]√xと書きます。
(本当は小さい4を√記号に乗せるわけですが,画面では表示できないので,ここでは便宜的に[4]としておきます。)
残りの3つは,-[4]√x,([4]√x)i,-([4]√x)iとなります。

つまり,平方根は2つ,4乗根は4つあるけれど,√xと書いたら,そのうち正の実数になるものだけを指し,それ以外の根は√xにマイナス記号やiなどをつけて表す,というわけです。

質問のタイトルに「16の4乗根は±2ではない!?」とありますが,これに対する答えは,
 16の「4乗根」といったら,±2および±2iの4つ,
 [4]√16といったら,+2だけ,
になります。

ちなみに,xを正の実数とした時,3乗根は3つあり,そのうち1つは正の実数,残り2つは複素数になります。このときも同様に,正の実数のものを[3]√xと書きます。(この場合,2乗根や4乗根などと違って,残りの2つの根は,[3]√xにちょこっと記号をつけ足せばすむというわけにはいきません。)
5乗根から先も同様です。
このあたりは,複素平面のところで,xのn乗根とか,ドゥ・モアブルの定理などを学ぶと理解が早いのですけどね(従来は数学Bで出てきていた)。

なお,今年から高校にも新しい指導要領が導入され,教科書の内容も変わっています。数学Bからは複素平面が消えました。
ただし,高校の場合は「学年進行」といって,今の1年生(や来年以降入ってくる1年生)は卒業までずっと新しい指導要領で行きますが,今の2年・3年は前の指導要領時代に入学しているので,卒業まで前の内容の教科書を使います(留年しない限り)ので,もし数学Bの教科書をもっていれば,複素平面も載っているはずです(1学期が始まったばかりですので,まだそこまで進んでいないかもしれませんが)。
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この回答へのお礼

わかりました!本当にありがとうございます。
「16の4乗根」と「〔4〕√16」は違うものなんですね!「〔4〕√16」をどう表記していいかわからなくて「16の4乗根」と書いて質問してしまいました。(言い訳)
これからもいろいろとご教授下さい。

お礼日時:2003/04/20 21:46

もうおわかりと思いますが,念のためまとめておきます。


実数に限定しているのなら,16の4乗根は±2で正しいです。
複素数の範囲で考えるのなら,16の4乗根は±2と±2iの4つになります。

なお,No.6の指摘やNo.7の修正の意味,お分かりと思いますが,念のため補足しておきましょう。
xを正の実数とした時,2乗してxになる数をxの平方根という。これは2つあり,そのうち ★正のほうを√x★と書くのです。従って,負のほうは-√xです。また,√0=0とします。
また,xが負の実数のときは,2乗してxになる数は純虚数(iの実数倍)になりますので,そのうち,iの「正の実数倍」のほうを√x,「負の実数倍」のほうを-√xとすることが多いと思います。(2次方程式の解の公式などに出てきます)
xが純虚数や,実部と虚部の両方を持つ複素数の時は,√xという書き方はしないのが普通だと思います。

この回答への補足

僕の疑問を起こさせる原因となったのは、教科書(啓林館数学2)指数と指数関数の分野の86ページ例6に、16の4乗根(式では表記できないと思いますがあえて・・)、つまり4√16=2とあったからです。この疑問はまだ解決されてないです。実数に限定されての話ですが、どうして+2だけなのでしょう・・

補足日時:2003/04/19 21:59
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この回答へのお礼

皆さん親切に基礎から教えていただきありがとうございました。理解できました。

お礼日時:2003/04/19 21:56

追伸


#6のojamanboさんのご指摘の「ちょっとちょっと大丈夫ですか 」ですが、mmkyさんは大丈夫じゃなかったですね。
ごめん。修正しておきます。
#4の修正版
(16)^(1/4)=±√(±4)
±√(±4)は2通りあるね。
±√(+4)=±2
±√(-4)=±√(-1)√(+4)=±2i
{√(-1)=i ,i^2=-1}
以上 追伸まで
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ちょっとちょっと大丈夫ですか



√4=2ですよ。

±√4=±2です。

±√(±4)=±2,±2i 
です。

なお高校ぐらいだと実数に限定して話をすることもあるので
最初から言ってもらわないと(虚数を許すのかどうか)
16の4乗根は±2
というのが正解とも間違いともいえません。
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高2ですよね。

数Bはならってますよね。16の4乗根を求めるということは、xの4条=16となるxを求めればいいわけです。(数式がでなくて見にくくてすみません)
因数分解すると、結局xの2条+4=0、xの2条-4=0を解くことになります。ここで、実数の範囲内で答えを求めると2、-2が解になります。
数Bをならっていれば、複素数の範囲も求められるので、2i、-2iも解になります。
数式がわかりにくかったでしょうか?
納得できますか?
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参考程度に



√√(16)=√(±4)
√(±4)は2通りあるね。
√(+4)=±2
√(-4)=√(-1)√(+4)=±2i
{√(-1)=i ,i^2=-1}
検算
(±2)^2*(±2)^2=4*4=16
(±2i)^2*(±2i)^2=(-4)*(-4)=16
ということで、±2, ±2i
の4つの答えがありますね。
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>√4=±2ですよね!?



ここが違います。√(±4)でないとだめです。
全部で4つの解があります。
√4=±2はそのとおりですが、
√(-4)にも2つの解があります。
複素数で表すことになりますので習っていなければ難しいでしょう。
n乗根は一般に実数解と複素解をあわせてn個の解を持ちます。
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念のため。



iは虚数単位でi=√(-1)のことです。
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>16の4乗根は±2ではない!?



±2だけでなく、±2i (電気の世界では±2jと表記することも)も解です。

>√4=±2ですよね!?

4だけでなく-4も16の2乗根であるところがポイントです。
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Q-16の4乗根って

こんにちは。

実数の物を求めよ。という問なのですが、
-16の4乗根ってなんなのでしょうか?

4乗したら-16になる数なんてあるんですか?
iを使っても4乗したらプラスになってしまいますよね・・・

どうしたらよいかわからないので回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

-16=-2^4ですから
4乗根は
2*a
aは「-1」の4乗根です。
4乗して「-1になる」実数は存在しませんので
実数のものは「存在しない」というのが(答え)です。

なお、4乗根はすべて虚数の複素根で
(±1±i)√2 (複合はすべての組合せをとる)
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Q√の電卓での計算について

電卓でのルートの計算方法がわかりません。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2530529.html

こちらの質問で√の左上の小さな数字が4の場合は√マークを二回押せばいいという事が何となく理解出来たのですが、
例えばこれが他の数字の場合はどうやって計算すればいいのでしょうか。
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(例えば4なら√4=2で√ボタンを2回、9なら√9=3で√ボタンを3回、という具合に)

Aベストアンサー

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aの1/5乗 x aの1/5乗 x aの1/5乗 x aの1/5乗 x aの1/5乗
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=aの1乗=a

Q例えば16の4分の3乗は?

お恥ずかしい質問ですみません。
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では、「16の4分の3乗」っていくつでしょうか?
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Aベストアンサー

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a^(b*c)=(a^b)^c

これで分解すると

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ところで1/4乗は

16^(1/4)=16^(1/2*1/2)={16^(1/2)}^(1/2)=4^(1/2)=2

と計算してもいいですね。

Q四次元というのはどんな世界ですか?

そもそも我々の住んでいる世界は三次元ですか、四次元ですか?
三次元の世界とは縦横高さのある空間の世界だと思います。
これに時間の概念を足せば四次元になるのでしょうか?
我々の世界にも時間があるので、四次元といってもいいのでしょうか?
それとも四次元とは時間とは無関係の世界なのでしょうか?
あるいは時間と空間を自由に行き来できるのが四次元なのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>そもそも我々の住んでいる世界は三次元ですか、四次元ですか?

4次元であると考えると都合がいいというのが
現段階の結論です。

 100年ほど前、スイスのチューリッヒ工科大学
のミンコフスキー教授が物理学的な4次元の理論というのを
考えました。物理的な計算をするのに、縦、横、高さ
方向以外にもう1つ方向があるとして計算すると
うまく計算できることがあるというもので、
彼の教え子の一人が、4次元時空の理論と
して有名な相対性理論を完成させた、アルバート・
アインシュタインでした。
 彼は、リーマンという数学者が作った、
曲がった空間の幾何学(現在リーマン
幾何学と呼ばれています)を使い、4次元の
空間が歪むという状態と、重力や光の運動を
あわせて説明したんです。これが相対性理論。

>これに時間の概念を足せば四次元になるのでしょうか?

 物理学的にはそうです。

 相対性理論の話に関連付けて説明するとこんな感じです。
例えば、下敷きの板のような平面的なもの(数学的には
これを2次元空間と言ったりします)を曲げると
いう動作を考えてみて下さい。下敷きに絵が書いて
あったとして、曲げながらそれを真上から見て
いると、絵は歪んで見えます。平面的に見て
いても下敷きという2次元空間が歪んでいる
ことが感じ取れます。
 2次元的(縦と横しかない)な存在である下敷きが
歪むには、それ以外の方向(この場合だと高さ方向
ですが)が必要です。

 19世紀に、電気や磁気の研究をしていた学者たちが、
今は小学校でもやる砂鉄の実験(紙の上に砂鉄をばら撒いて
下から磁石をあてると、砂鉄が模様を描くというやつです)
を電磁石でやっていたときに、これは空間の歪みが
原因ではないかと直感したんです。
 電磁石の強さを変えると、砂鉄の模様が変化します。
これを砂鉄が動いたと考えず、砂鉄が存在して
いる空間の歪みが変化したのでは?と考えたんです。

 3次元の空間がもう1つ別な方向に曲がる。
その方向とは時間という方向だということを
証明したのが、相対性理論だったんです。


>あるいは時間と空間を自由に行き来できるのが四次元なのでしょうか?

 4つ目の方向である時間は、存在していても
その方向に、人間が自由には移動する方法は
現在ありません。時間方向を自由に動ける機械と
いうのは、タイムマシーンのことなんですが。

 日常生活を考えてみたとき、縦、横といった
方向は割りと自由に動けます。1時間ちょっと
歩けば4kmくらい楽に移動できますが、
道路の真中で、ここから高さ方向に
4km移動しろと言われたら、人力だけでは
まず無理でしょう。
 飛行機やロケットといった道具が必要と
なります。
 時間方向というのは、このように存在していても
現在のところ自由に移動できない方向なんです。

 例えば、人間がエレベーターの床のような
平面的な世界に生きているとしましょう。

 この場合、高さ方向を時間と考えて下さい。

 エレベーターは勝手に下降しているんです。
この状態が、人間の運動と関係なく、時間が
経過していく仕組みです。

 人間もほんの少し、ジャンプして高さ
方向の移動に変化をつけることができます。

 同様に時間もほんの少しなら変化をつける
ことができます。

 エレベーターの中で、ジャンプすると
ほんの少し下降を遅らせることができる
ように、時間もほんの少し遅らせることは
できるんです。




 

>そもそも我々の住んでいる世界は三次元ですか、四次元ですか?

4次元であると考えると都合がいいというのが
現段階の結論です。

 100年ほど前、スイスのチューリッヒ工科大学
のミンコフスキー教授が物理学的な4次元の理論というのを
考えました。物理的な計算をするのに、縦、横、高さ
方向以外にもう1つ方向があるとして計算すると
うまく計算できることがあるというもので、
彼の教え子の一人が、4次元時空の理論と
して有名な相対性理論を完成させた、アルバート・
アインシュタイン...続きを読む

Q4√16(四乗根16)を計算すると-2が入らないのはなぜ?

授業で先日指数の計算をやりました。
4乗根16というものを計算するとき(n√a)に当てはめて考えると
【nが偶数でaは正の数であるとき正の数aのn乗根はn√aと-n√aである。】と書いてありました。

そう考えると4√16は±2となるような気がするのですが答えはすべて2でした。。。
な、なぜ・・・・?


初歩的な質問でホントごめんなさい。。。
回答おまちしています・・・。

Aベストアンサー

4の平方根はプラスマイナス2ですが、
ルート4はプラス2です。
ルート=平方根と考えたのがまずかったのでしょう。

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
宜しかったら、恐縮ですが、以下の具体例で、『噛み砕いて』教えて下さい。
(例)
セルA1~A13に1~13の数字を入力、平均値=7、STDEVでは3.89444、STDEVPでは3.741657となります。
また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
では、STDEVとSTDEVPの違いは何なのでしょうか?統計のことは疎く、お手数ですが、サルにもわかるようご教授頂きたく、お願い致します。

Aベストアンサー

データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
AとBの違いがあるかないかという推測をする時、通常は標本同士の検証になるわけですので、偏差を余裕をもってわざとちょっと大きめに見るということで、それだけ確証の度合いを上げるというわけです。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q証明終了の記号。

証明が終わったという記号は、どんなものがあるのでしょうか?

調べたところ、QED、■、//があるということですが、手書きの場合だと、個人的な意見としては、//が書きやすいです。

ですが、よく使われるのは、QEDなのでしょうか?
最近の流行りがあるのであれば、どれが一般的なのか知りたいです。

Aベストアンサー

どれも非常によく使われますが、
どれを使っても ダサい ことに変わりはありません。
証明を書いたのと同じ言語で、「証明終了」とか
"That was to be proved." とか、書いておくのが
自然だと思います。証明をラテン語で書いたのなら、
"quod erat demonstrandum" ですね。

Q2乗しても同値性が崩れないときと崩れるとき

2乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を2乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで2乗してもいいのかな?」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

例);2乗してもいいとき

X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1)
Y=3/4[(α+β)^2]+3/4・・・(2)

ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を2乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。

Aベストアンサー

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等式を加減するとき
4.式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。2乗(平方)したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入(加減)も同じ。(もちろん、崩れない場合もある)解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入(加減)の場合は、代入した式に戻って検討する。

ちなみに、7の問題は大変な良問で、いろいろな解法が出来ます。私はパラメ-タaを分離して、解決しました。これは、受験数学のテクニックのひとつで、aとxが伴って変わらくて、しかもaとxを分離することが容易な場合に威力を発揮します。また、xについての二次方程式でもあるので、判別式を利用して解くことも出来るし、さらにs-wordさんの解で、特殊な絶対不等式を使うことも出来る。この絶対不等式は、私は気づきませんでした。問題の型を見た瞬間に、パラメタ分離→微分して調べるという構図が浮かんでしまったからです。某料理会の○皇様が、料理は工夫しすぎるということはない。さらなる工夫をもって精進せいよなどどと言っていたのを思い出しました。まったく数学は奥が深いのう。

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等...続きを読む


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