「線」の長さについて

「線」には長さがありますよね。
例えば目の前に「直線」があったとします。直線には長さがあります。長さは、数値で表せます。
数値で表せると言うことは、直線の長さは測ることも出来るし、逆にその長さで引く（書く）ことができます。・・・例えば、10.25ｃｍというように。（小数点以下何桁まで続いたとしても厳密に表すことは可能でしょう）
無限に続く直線でない限り、長さは精密に表すことができると思うわけです。

さて、私の悩みは「曲線」ではどうなのかということです。
例えば円周の長さは、直径×πです。
π＝3.141592………と限りなく小数点以下の数字は続きます。
ということは、円周の長さは精密な（？）数値では表せないということですよね。
円周自体は目で確認できるにもかかわらず、長さが精密な数値として表せないのです。
目に見えているにもかかわらず精密な長さは測れない？
長さを精密な数値として表せない？
このことは、どういう風に考えればいいのでしょう。
私の疑問を上手くお伝えできたかどうかわかりませんが、解決いただける方、どなたかいらっしゃいませんか？

No.2 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/09/12 15:16

直線でも曲線でも計測しているのは、近似値になってしまいます。

直線でも長さを測るときには、「端」がどこかを見つけなければなりません。
「小数点以下何桁まで続いたとしても厳密に表すことは可能でしょう」と書かれていますが、
原子の大きさレベルまで小さくなってきたときを想像してみてください。
その世界まで来ると、どこが端かはよくわからなくなる状態になります。
また、それ以下の長さは「ものさし」がもう合わせられなくなってしまいます。

よくでる例えとして、「海岸線の長さ」というのがあります。
海岸線はリアス式のように出入りが激しかったり、九十九里浜のようになだらかな曲線になったりしています。
ところが、長さを測ろうとするときには、どこまで「でこぼこを測るか」「砂の1粒1粒まで測るか」で長さが変わってしまいます。
これと同じようなことが紙の上でもいえるということです。

正確に測れているというのは、その世界・環境での尺度（ものさし）で測れているということです。
違う世界にいくと、また違った尺度になってしまいます。

この回答へのお礼

え！そうなの？
と思いながら、なるほど！と思いました。
例えがわかりやすく、納得できるような気がします。
でも、不思議な世界に足を踏み入れてしまったような感覚です。
なんだか私たちの存在する世界には全てを完璧に現すことが出来るもの（対象物）はない？・・・ということでしょうか。

お礼日時：2009/09/12 16:50

No.6 回答者： noname#111034 回答日時： 2009/09/12 15:53

「実数は稠密である」

そんな大学数学の悪夢を思い出しましたが，そこから先は脳味噌のブレーカーが飛んで書けません　爆。

No.5 回答者： proto 回答日時： 2009/09/12 15:40

まず直線ならば精密に表すことができるというのが、何か違うと思います。

例えば、長さが√2の線分は正確に作図出来ます。
√2はもちろん無理数で小数点以下の数字は限りなく続きます。

少し難しい話になりますが、
更に言えば、目の前に適当に2点を打ってそれを繋いだとき、その線分の長さが有理数になる確率は0で、無理数になる確率は1です。
つまり適当に線分の長さを測ったとき、小数点以下が有限で収まるのはとても珍しい場合で、大抵は小数点以下が無限に続くのです。


さて、とはいえ今回の疑問には割と簡単に答えが出せます。
ある数が(今回の場合で言えば線分の長さとして)正確に表現できるかどうかと、その数を小数展開したときに有限桁で精密に表せるかどうかということに関係はありません。
√2やπが無限小数になってしまうのは、小数展開という数の表し方の限界であって、√2やπといった数自体の限界ではありません。
√2ならば
　　x^2-2 = 0
の正の解。と書けば正確に表現できていますし
πならば
　　4*arctan(1)
と書けば正確に表現できています。
しかし、これらの数を小数で表現しようとすると有限の桁では表現しきれません。これが小数展開の限界です。
直線・曲線に限りません。どちらであっても小数展開して表現しようとすると無限に桁が続きます。

とはいえ、無限小数でしか表現できないとしても、その数自体ははっきりと存在していますし、その大きさも正確に確定した数としてあります。


目盛りが1cm刻みの定規では0.5cmは正確には測れないし、目盛りが0.01cm刻みの定規では0.005は正確には測れない。
それとおなじです。目盛りが有限個しか刻まれていない定規ではπcmは正確には測れない。
しかし、測れる測れないに関わらず数はそこに存在しています。

この回答へのお礼

有理数と無理数！少数展開の限界？！
ものさしを使った説明になるほど！です。
ミクロも無限ということでしょうか。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/09/12 17:06

No.4 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/09/12 15:30

長さが存在することと、その長さを10進数で表記することは別です。

10進数表記は、結局 1 との比率を表しているだけなので、それが「切りのよい数字」になるかどうかは、長さそのものの存在とは無関係です。

では10進数表記と切り離して長さを定義するにはどうすればよいのか。なかなか難しく、ちょっと説明するのは無理です。

No.3 回答者： graphaffine 回答日時： 2009/09/12 15:24

#1の方と趣旨は同じですが、別の言い方で答えさせてもらいます。

数学とは、理想化された世界ですので現実をそのまま当てはめることができない場合もあります。

直線も理想化された数学上の概念で、現実には存在しません。よって、”例えば目の前に「直線」があったとします。"という状態も現実的にはありえません。
そもそも、直線という言葉自体が、数学の分野により意味することが変わってきます。一応中学・高校レベルの「両方向に、真っ直ぐにどこまでも伸びている線」のことだとして、もし、目の前に線があったとして、それがどこまでも伸びているということが、どのようにして確認できるのでしょう。

No.1 回答者： Kasukiano 回答日時： 2009/09/12 14:59

この世には神が決めた数字（人間では正確な数字が求められないもの）と人間（人間が数字で表す数字）が決めた数字があるとNASAで働いていた恩師がいっていました。

線の長さは人間では完全に表すことはできません。長さは実際には無限に続く少数で、例えば1センチの長さを持つ直線があっても実際に
1.0000000000000000000000000001センチかもしれません。
人間は技術によって近似値を実際の値に近づけることはできますが神の決めた数字にはたどり着けないということです。

円についてもそうです。円周率自体が神の数字なので人間には近似しか求めることはできないのです。

かなり分かりにくいかもしれませんが参考程度に考えてみてください。