[数検1級1次]複素数解を含めた連立方程式の解

添付写真の問題についてです。

まず自分は
一番目の式より
y＝-x^2
二番目の式より
z＝-y^2＝-(-x^2)^2＝-x^4
３番目の式より
(-x^4)^2＋x＝0
x^8＋x＝0
x(x^7＋1)＝0
ここからは
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(1)x＝0のとき
(2)x^7＋1＝0のとき
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で場合わけしました。
しかし(2)のときに複素数解が求まりませんでした。

模範解答では、
(2)で、
cos(k/7)π＋sin(k/7)π＝ω(k)
として、
(ω(1)、ω(4)、ω(11))、
(ω(3)、ω(13)、ω(5))、
(ω(5)、ω(3)、ω(13))、
(ω(9)、ω(11)、ω(1))、
(ω(11)、ω(1)、ω(9))、
(ω(13)、ω(5)、ω(3))、
(-1、-1、-1)
を求めています。

ただし、
cos(k/7)π＋sin(k/7)π＝ω(k)
のω(k)の(k)はωの添え字です。


場合分け(2)からが解らないのですが、どのようにしているのですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_38 回答日時： 2009/10/05 21:07

#2 です。

(2) を実数の計算に翻訳する部分を書いておきましょう。

x = exp(iθ) を x^7 + 1 = 0 へ代入すると、
式を整理して ((r^7)cos(7θ) + 1) + i (r^7)sin(7θ) = 0。
実部、虚部を各々両辺で比較して、
(r^7)cos(7θ) = -1 かつ (r^7)sin(7θ) = 0 となります。

sin(7θ) = 0 より |cos(7θ)| = 1 であることに注意すれば、
解は、r = 1,　cos(7θ) = -1,　sin(7θ) = 0 となるもの
しかないことが分かります。
よって、7θ = π + 2nπ (n は任意の整数) です。

θ = (2π/7)×(任意の奇数) の間違いでしたね。失礼。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/10/05 20:34

>模範解答では、

>(2)で、
>cos(k/7)π＋sin(k/7)π＝ω(k)
これは誤答ですね。iを虚数単位として
cos(k/7)π＋i*sin(k/7)π＝ω(k) …(■)
となります。

>(2)x^7＋1＝0のとき
x^7+1=0
x^7=-1=e^{i(π+2(n-1)π)}
x=e^[i{(π/7)+(2(n-1)π/7)}]
=cos{(2n-1)π/7}+i*sin{(2n-1)π/7}
=ω(2n-1) (n=1,2,3,4,5,6,7)
(■)のω(k)に対応させると
k=2n-1
ただし,ω(k+7m)=ω(k)(mは整数）,ω(7)=-1

y=-x^2=e^(iπ)*e^[i2{(π/7)+(2(n-1)π/7)}]
=e^[i{(9π/7)+(4(n-1)π/7)}]
=cos{(4n+5)π/7}+i*sin{(4n+5)π/7} (n=1,2,3,4,5,6,7)

z=-y^2=e^(iπ)*e^[i4{(π/7)+(2(n-1)π/7)}]
=e^[i{(11π/7)+(8(n-1)π/7)}]
=cos{(8n+3)π/7}+i*sin{(8n+3)π/7} (n=1,2,3,4,5,6,7)

n=1(k=1)の時
(ω(1),ω(5),ω(6)),
n=2(k=3)の時
(ω(3),ω(7),ω(3)),
n=3(k=5)の時
(ω(5), ... , ...),
n=4(k=7)の時
(ω(7),ω(7),ω(7))=(-1,-1,-1),
n=5(k=9)の時
(ω(2), ... , ...),
n=6(k=11)の時
(ω(4), ... , ...),
n=7(k=13)の時
(ω(6), ... , ...)

途中のω( )は出来ると思いますのでやってみてください。

>ただし、
>cos(k/7)π＋sin(k/7)π＝ω(k)
これは模範解答のミスでしょう。
正しくは
cos(k/7)π＋i*sin(k/7)π＝ω(k)
です。
>のω(k)の(k)はωの添え字です。

No.2 回答者： alice_38 回答日時： 2009/10/05 19:51

模範解答の式は、sin に係数 i が掛かっていた

ことと思います。
i は、虚数単位です。
x = r exp(iθ)
r は r ≧ 0 の実数
θ は 0 ≦ θ ＜ 2π の実数
と極座標表示してみると、
(2) が実数の計算に翻訳できて、
r = 1
θ = (2π/7)×(任意の整数)
と解けます。
これを x の値に戻して、整理して書き出せば、
模範解答のようになります。

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2009/10/05 19:51

複素平面上に単位円を書いてください。

x^7＋1＝0
の解の一つは、x=-1
あとの６個は、複素平面上の-1を、1/7づつ回転した位置の複素数です。