Fxy=Fyx の証明はこれではだめですか？(偏微分の順序交換の証明)

Fは(x,y)で連続かつx,yについて偏微分可能し、FxyとFyxも(x,y)において存在するとき、Fxy=Fyxとなる。なお、FxyとはFをxについて偏微分して次にyについて偏微分したものとする。
これを示すと
Fxy＝lim(h→0)1/h｛Fy(x＋h,y)-Fy(x,y)｝
Fy=lim(h→0)1/h｛F(x,y＋h)-F(x,y)｝より、
Fxy=lim(h→0)1/h｛1/h(F(x＋h,y＋h)-F(x＋h,y)-F(x,y＋h)＋F(x,y))｝

一方、Fyx=lim(h→0)1/h｛Fx(x,y＋h)-Fx(x,y)｝、
Fx=lim(h→0)1/h｛F(x＋h,y)-F(x,y)｝より
Fyx=lim(h→0)1/h｛1/h(F(x＋h,y＋h)-F(x,y＋h)-F(x＋h,y)＋F(x,y))}
=lim(h→0)1/h｛1/h(F(x＋h,y＋h)-F(x＋h,y)-F(x,y＋h)＋F(x,y))｝
したがって
Fxy=Fyxが成立する。
こうやって示したのですが、ダメですか？

No.7 ベストアンサー 回答者： alice_38 回答日時： 2009/10/15 12:02

偏微分の順序交換は、質問者も触れているように、

極限の順序交換に帰する訳で。

おそらく、元々は、
lim[h→0] lim[k→0] G(h,k) と
lim[k→0] lim[h→0] G(h,k) とを、
G の具体的内容に触れずに
どちらも lim[h→0] G(h,h) に等しいと
してよいか、ダメな理由は何か
を質問したかったのだろうけれど…
補足での対応を誤ったので、話題が反れましたね。

ダメな理由は、
貴方の主張が成立するには、G に
偏連続性ではなく、二変数関数としての連続性
が欲しいからで、当にその為に、Fxy, Fyx に
存在だけでなく、少なくとも一方の
連続性が仮定されていれば十分となる。

質問文中の主張への反例は、私なら
F = xy(arctan(y/x))~2 なんかが好き。

この回答への補足

回答ありがとうございます。勝手に私が解釈したためかもしれません。そのことに関しては本当にすみません。細かいながらも正確な定義を厳密に理解することは大事ですね。再度改めた結果、確認しますと
簡単に言えば、Fxyが存在するというの例として
lim(x→0)lim(y→0)K(x,y)は存在しますよと言えてるだけである。
一般的にyを先に0に近づけてから、xに0を近づければ存在するものであってもyもxも同じ値で0に近づけたからといって必ずしも上の近づけ方でやった値と一致するとは限らないから、私が示した式が間違っているということなんですよね？
単純に言うと。

補足日時：2009/10/15 16:25

この回答へのお礼

上の補足として付け足しますと
例を挙げれば、K(x,y)=x^2/(x^2＋y^2)と与える。
そうするとlim(x→0)lim(y→0)K(x,y)=1で、y=xとして考えると
lim(x→0)K(x,x)=1/2
Fxyが存在するというのはあくまで、lim(x→0)lim(y→0)K(x,y)=1
だけ言えますということだから、私の言ってることが間違っていますよね？

お礼日時：2009/10/15 16:54

No.6 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/10/15 08:49

あ，反例書き間違った．

>Fxy(0,0)=1
>Fyx(0,0)=-1
じゃなくって
Fxy(0,0)=-1
Fyx(0,0)=1
だと思う．もっとも本質的には何も変わらないのは
いうまでもないけど．

No.5 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/10/14 23:12

＞これでも違うのですか？

そう，ちがう．

そもそも，書いてることが
補足のたびに微妙に違ってるのはどうして？

>すなわち、h→0とするならば、
>1/h｛F(x,y＋h)-F(x,y)｝= Fy
>1/h｛Fy(x＋h,y)-Fy(x,y)｝= Fxy

これは
h→0とするならば、
1/h｛F(x,y＋h)-F(x,y)｝= Fy
t→0とするならば、
1/t｛Fy(x＋t,y)-Fy(x,y)｝= Fxy
こういう意味なのですよ．
hという同じ文字だからといって，同じなわけではない．
代入なんかしちゃいかんよ．
とってる極限が別個のものだから
たまたま同じ文字hを使っても問題ないだけで
実際は「違うもの」なんだから．

何度でもいうけど，
（二階の）偏微分は「あらゆる方向の微分」じゃない．
このことに対する反論がないけど，それは納得してるのかな？
理解できてるなら
こんな「代入」なんかは主張しないと思う．

ついでにいうけど
＞Fは(x,y)でx,yについて偏微分可能かつFxyとFyxも(x,y)において存在すると言っている以上、
また「連続性の仮定」が落ちてるし，一点での連続性じゃ不足．
こういう大事な仮定を無造作に落とすのは
数学の議論としては致命的だよ．

いい加減疲れたから，検索して見つけた反例
F(x,y)=xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)
F(0,0)=0
とすると，あなたの質問文でいう条件は全部満たすけど
実は
Fxy(0,0)=1
Fyx(0,0)=-1
になる．
つまり，あなたの証明はだめってこと．
計算はきちんと定義に従って，
(0,0)での偏導関数を求めればいいだけ．
Fは(0,0)で連続だし，
FxもFyも(0,0)で存在するし，FxyもFyxも(0,0)で存在するのが
すぐわかるはず．

なんでだめかは
今まで私が指摘したとおり．
偏微分の定義を正しく理解していないことと
極限のとり方とかの呼吸が間違ってることかな．

では。

No.4 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/10/14 21:26

＞たしかに、私の言ってた前提が少し違っていたかもしれませんが

数学は前提が違っていれば証明はまるで違う．
だから前提が違うのに証明だけというのはナンセンス．
そうでしょ？
上限公理を仮定するか，デデキンド切断を仮定するか，
はたまた有界単調増加列の収束を仮定するかで
証明が変わることくらいはしってるでしょう？

＞偏微分の順序交換の証明が私の示した式ではどうか判定を！
しかし，あえてそのナンセンスなことをするなら
だめ。やっぱり10点満点で3点でもあげすぎかも。
どんな方向からでも偏微分が存在する？
それをどうやって示すの？
いっとくけど，偏微分ってのは，軸方向だけの微分であって
全方向の微分じゃないよ．
それは定義から明らかでしょう？
＃ちなみに「全方向で微分ができる」ってのはかなり強い条件で
＃そうそう成り立つものではない
今の場合，全方向で微分OKを示すのって
結局順序交換と同じようなもんだよ。
それこそ
＞ネットや参考書で探せば載っているので、
というくらいなんだから，なんでわざわざ
「探せば載ってる証明」では
平均値の定理を使ってるのか考えよう．
そしてなんで「連続性」が必要なのか考えよう．

この回答への補足

いやいや、Fは(x,y)でx,yについて偏微分可能かつFxyとFyxも(x,y)において存在すると言っている以上、
|h|を今十分に小さくて限りなく0に近い値だとすれば
1/h｛F(x,y＋h)-F(x,y)｝はFyに限りなく近づいて、
1/h｛Fy(x＋h,y)-Fy(x,y)｝もFxyに限りなく近づく。(条件より)
すなわち、h→0とするならば、
1/h｛F(x,y＋h)-F(x,y)｝= Fy
1/h｛Fy(x＋h,y)-Fy(x,y)｝= Fxy
つまり、私が示した式と同じようになる。
これでも違うのですか？

補足日時：2009/10/14 21:39

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/10/14 13:00

＞ですが、FxyとFyxが(x,y)で存在して連続であるというのを正しいということを前提にしているのですから、

こんなこと質問文のどこに書いてますか？？
けど，これだけでも条件が少し足りないかな．
一点だけの連続性でいけるのかな？
そもそもあなたが言ってたのは「存在だけ」でしょ？
だから私もNo.1さんも「前提が違うんじゃ？」と
指摘してたわけです．

＞言えば(h,k)がどんな方法で0に近づいてもFxyとFyxは存在する
こんなことはどこに書いてますか？
そもそも偏微分って「どんな方向からでも存在する」でしたっけ？
変数を一個だけ動かすっていうのが偏微分であり
それだけで「全方向」が満たされるのかな？

この回答への補足

いやいや、Fxyが(x,y)で存在しかつ連続であるから
Fxy=lim(h→0)1/h{Fy(x＋h,y)ーF(x,y)}で表せる。
さらに、Fyも(x,y)で存在しかつ連続であるから
Fy=lim(h→0)1/h｛F(x,y＋h)-F(x,y)｝がいえるので、
質問した式で表せる。
すなわち、FxyとFyがここで存在してかつ連続と言っている条件の下で
計算を行っているわけだから間違っていないのでは？
たしかに、私の言ってた前提が少し違っていたかもしれませんが
偏微分の順序交換とはどういうときで成り立っているのかとかは、ネットや参考書で探せば載っているので、私が書いてある前提とかというよりも
私が書いた式を主に見てください。つまり、私が言っている前提がどうのこうのよりは偏微分の順序交換の証明が私の示した式ではどうか判定を！

補足日時：2009/10/14 17:17

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/10/14 09:00

定理の前提条件ってのは

ものすごく大事なもので，
その前提条件そのものが間違っていると
まったく意味がないということを
まず理解しましょう．
＃ぶっちゃけていうと
＃「間違った前提からは任意の命題が導ける」
＃という定理が存在する

で，今回のケースが「前提が違うのか」という問題はあと回しにして，
質問で提示された「解答」を私が採点するなら
10点満点で・・・せいぜいあげて3点．
なぜなら微分の定義で極限をとるときに
一番大事なところを
理解していない（少なくとも曖昧にしてる）から．
どこかはご自分でどうぞ．

それで，「前提が違うのか」という点だけども，
私も「違う」と思う．
大事な条件が一個もれてる．

この回答への補足

ですが、FxyとFyxが(x,y)で存在して連続であるというのを正しいということを前提にしているのですから、間違ってはいないのでは？
せいぜい、言えば(h,k)がどんな方法で0に近づいてもFxyとFyxは存在する
と言ってますので、h=kとして0に近づけた証明でいいのでは？

補足日時：2009/10/14 09:04

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/10/14 02:47

まず、定理の前提が違うと思うのですが。

＞Fは(x,y)で連続かつx,yについて偏微分可能し、FxyとFyxも(x,y)において存在するとき、
これ合ってますか？

この回答への補足

いやいや、当然「Fは(x,y)で連続かつx,yについて偏微分可能し、FxyとFyxも(x,y)において存在するとき、Fxy=Fyxが成立する」
というのが命題なので。
合ってるとかというよりも、そうである場合にという意味なので合ってる当てないは関係ないと思いますが。

補足日時：2009/10/14 06:27