ケーブルを伝播する電磁波の波長（速度）

Question

ケーブルを伝播する電磁波の速度は、真空中での速度より遅く、結果としてケーブル中では波長が短くなるようですが、なぜ速度は遅くなるのでしょうか？

Maxwellの方程式から電磁波が伝わる速度は 1/(ε・μ)^(1/2) なので、誘電率の違いなのでしょうが、物理的なイメージが掴めなくて、具体的にどのようなことがケーブルの中で起こっているのか理解できなくて悩んでいます。どなたか、わかりやすく説明していただけないでしょうか？

nzw · Accepted Answer

No.4です。
古典論は具体的なイメージを描きやすいのですが、正確さという点では限界があります。

量子力学の範囲でのイメージは以下の様なものです。
・電子は、低エネルギーの基底状態と、高エネルギーの励起状態の２つのエネルギー状態をとることが出来る物とする
・電磁波は光子の集団である
・個々の光子は、波長に反比例し、周波数に比例する決まったエネルギーを持つ
・基底状態にある電子は、基底状態と励起状態とのエネルギー差に一致する光子がきた場合、それを吸収して励起状態になることができる
（これを実遷移と呼ぶ）
・電子が１つ励起状態になると、光子が１つ減る。
・エネルギー保存則から、状態間のエネルギー差と、光子のエネルギーは一致する。つまり、別のエネルギーの光子は実遷移を起こす事が出来ない
・電子は励起状態に一定時間とどまる事が出来る
・励起状態に有る電子は、寿命がくると光子を放出して基底状態に戻る
・ここで放出される光子のエネルギーは、エネルギー保存則から吸収された光子のエネルギーと一致する

ここまでは、一般の量子力学の講義で良く聞く話かと思います。
屈折率を考えるには、以下で説明するエネルギーがずれた光子の挙動が重要になります。
・エネルギーと時間の不確定性関係と呼ばれるものが存在する。これは以下の式で表す事が出来る
（エネルギーの不確実さ）×（時間の不確実さ）～（一定）
・つまり、時間の不確実さが少ないと、エネルギーの不確実さが増える
・短時間とは時間の不確実さが少ないことに対応する
・したがって、短時間であれば本来のエネルギーとずれたように振る舞うことができる
・このエネルギーの不確実さを利用して、電子はエネルギーのずれた光子を吸収して励起状態になることができる
・ところが、励起状態にとどまる事はエネルギー保存則から許されない。そのため、不確定性関係で決まった時間がくると、かならず光子を放出して基底状態に戻る
・この時放出される光子は、エネルギー保存則から吸収された光子のエネルギーと同じエネルギーを持つ
・つまり不確定性原理で決まった時間以上のスケールで観測しても、光子は物質に吸収されなかったように見える。このような遷移を仮想遷移と呼ぶ

・しかしながら、不確定性原理で決まった時間だけ光子は吸収されていたため、光子の位相がずれる
・この光子の位相のずれが、巨視的には光の速度の遅れに見える。これを表す量が屈折率である
・実遷移を起こすエネルギーから光子のエネルギーが離れるほど、大きなエネルギーの不確実さが要求される。したがって、時間の不確実さは小さくなる。そのため、吸収が起こるエネルギーの近傍で屈折率は大きく変化する

ここで、基底状態と励起状態のエネルギー差に相当する周波数が、古典論の固有振動に対応します。実際の物質では、基底状態と励起状態は一組ではなく、多く存在します。例えば価電子帯と伝導帯（いわゆるバンドギャップ）、分子の振動状態の違いなど。実際の屈折率は、これらすべての実遷移の影響を足し合わせたもので決まっています。

　なお、量子力学と電磁気学を統合した量子電磁気学の範囲でこの問題を扱ったものとして、ファインマン著『光と物質のふしぎな理論―私の量子電磁力学』が岩波現代文庫から出版されています。この本は、一般の方むけの講演をもとにしており、数式は最小限に抑えられていて、非常に読みやすくなっています。ご一読をお勧めします。

ORUKA1951 · Answer

この場合のケーブルとは、同軸ケーブルのことですね。
同軸ケーブルの場合、スペーサーの素材の誘電率で速度は変わります。
というか、そもそも振動数は変わらないので、速度が遅くなれば波長は短くなる。V=hν
　普通の電磁波と考えればよいのですが？？？

info22 · Answer

> Maxwellの方程式から電磁波が伝わる速度は1/(ε・μ)^(1/2) 
そうですね。
ε=ε_s*εo
μ=μ_s*μo
ここで　ε_s(≧1)　は比誘電率、μ_s（≧1）　は比透磁率
ですので、波長λ=v/f　の関係があって周波数（振動数）は普通変わりませんから速度vが遅くなれば波長が短くなりますね。
真空中ではε_s=1,μ_s=1になりますのでv=1/√(εo*μo)=co(光速）
となります。

ケーブル中は何もなくても空気がありますのでε_s＞1,μ_s＞1となります。
現実のケーブルでは、導体間にスペーサの樹脂やビニール被覆などが入りますのでが空気中よりさらにε_s（＞1）,μ_s（＞1）が大きくなります。

波長が導体や導体間の隔離物質（スペーサー）によって短くなりますが、その割合を波長短縮率といってケーブル中の波長を真空中の波長で割った比または％値で表しています。
実際のケーブルの波長短縮率は65%～92%位の範囲の値になっています。

参考）
ケーブルの種類による波長短縮率
http://www.rocket-co.jp/ham/cable-loss.html
http://www.jarl.or.jp/Japanese/7_Technical/lib1/coax.htm
波長短縮率の実測法
http://mk1502.web.fc2.com/sokuteiki/cable_t.htm

noname#101087 · Answer

Maxwell のモデル(たとえばラインの偏微分方程式)からスタートする議論はわかっているから、もっと遡行したい、というご趣旨のようですね。

私見ですけど、自然科学の範囲では、そのような本質遡行は不可能だと思われます。
どう説明しようとも、Maxwell モデルの掌の中での言い換えになりそうな気がするのは、当方だけでしょうか。

nzw · Answer

古典論の範囲でのイメージは、
・電磁波の周期的変動電場により、物質中の電子が揺さぶられる
・電子が揺さぶられ、加速度運度を行う事で、電磁波が発生する
・揺さぶられる周波数は電磁波の周波数なので、物質が放射する電磁波の周波数も元の電磁波と同じ周波数となる
・電子は、有限の質量を持ち、原子核等に結びつけられているので、バネがつけられた質点のように固有振動数をもつ、そのため揺さぶりに瞬時に応答するのではなく、放射する電磁波と元の電場の間には位相のずれが生じる
・位相のずれが巨視的には光の速度の遅れのように見える
となります。
　詳細は、ファインマン物理学II光熱波動の第６章『屈折率の本質』を読んでみて下さい。

info22 · Answer

#2です。
Maxwellの電磁気学が電気現象をマクロな視野から扱う分野なので

>電磁波と物質がどのような相互作用をした結果、速度が遅くなるか、です。
>おっしゃる通り電磁気学の式と材料の誘電率から考えれば明らかですが、電磁波と物質(原子？分子？)の相互作用の様子を具体的にイメージしたいと思いました。

ミクロな分野の原子や分子のレベルにMaxwellの電磁気学を適用して考えることには無理があります。

おそらく量子力学の分野から考えないといけませんね。
しかし、マクロな概念の電磁波の波長短縮率を直接量子力学で説明することは困難ですね。電磁波は電界と磁界の相互作用によって交互にエネルギーを磁界エネルギーと電界エネルギーと増減しながら横波として伝播して行きます（導体外）。導体内では電子の粗密波のような状態で伝播していくと考えられ、その導体の周辺に電磁界を作り伝播して行きます。

マクロな現象では誘電率と透磁率が波長短縮率に関係していましたが、透磁率や誘電率をミクロな立場で考えれば、透磁率は磁化の起こり難さ（磁力線のでき難さ、磁束のでき難さ）を表し、真空中での磁化の起こり難さ（真空中では分子や原子は存在しませんが）の最低値μ0(真空の透磁率）が存在します。それは電界と磁界の相互作用によって決まってくる下限のようです。
また誘電率についても、電界のでき難さ（電気力線のでき難さ、電束のでき難さ）を表していますが、原子や分子が存在しない真空中でも電界と磁界の相互作用で電磁波は伝播し、誘電率の最低値（真空中の誘電率εo）が存在します。
真空でない媒質中では、原子や分子が存在し、原子や分子の荷電粒子やそれに伴う電磁界が存在し、媒質空間中での電気力線や磁力線をできにくくして透磁率や誘電率を増加させます。それをミクロな世界で言えば、電子のスピンの向きの変化のし難さ（透磁率を増加させる）や原子や分子の分極（ダイポール）の極性反転のし難さ（誘電率を増加させる）が媒質で異なる為だろうと推定します。媒体の物性に関係し、それらの物性を量子力学的な立場から考えれば、スピンの起こりやすさや分極の起こりやすさは原子や分子によって異なることは多分説明がつくでしょう。

十分な説明ができませんが、物性や量子力学の専門ではありませんので間違っていたらごめんなさい。

noname#101087 · Answer

>抽象的な式だけでは完全にわかった気がしないので、なんとかイメージを掴みたいのですが、、無理なのでしょうか。

参考までに、現象論的な説明だけでも。

無損失線路モデルの定常解の場合、(正弦波)位相差が 2πだけずれる線路長は 1/(f*sqrt(LC)) 、あるポイントで位相が 2π進む間の時間は 1/f です。
つまり、時間 1/f の間に一波長分の 1/(f*sqrt(LC)) だけ波が進行するように見えるわけです。

これを現象的にみれば、一秒間に進む距離が 1/sqrt(LC) だということですね。
　　　　　　　　　　　　　↓ これの式 (4.2)
　http://asaseno.cool.ne.jp/tech/bunpu06.html
>5.ダランベールの解の性質

過渡解の導出過程をたどってみても、同様なイメージになります。
いろいろな視点からみて、矛盾が無ければ納得するしかなさそうです。

ORUKA1951 · Answer

それでは、まるで質量の大きなものを動かすためには大きな力が要る。それはニュートンの方程式でわかるけど、質量の大きな物質はなぜ大きな力が必要かの仕組みを知りたい。
　と同じ議論になります。

　誘電率が大きいと、誘電により大きな力--慣性力が必要というのが電磁場の性質としか言いようがない。

nzw · Answer

> つまり、これによって誘電率の波長依存性が説明できるということでしょうか？
　その通りです。たとえば、一般的なプリズムは透明なのに、（波長が短い）紫の光を良く曲げて、（波長が長い）赤い光をあまり曲げませんね。これは、プリズムの材料の実遷移が紫外線の領域に存在するため色がつかないが、屈折率の裾が波長が短い側から長い側に引いているからです。

>誘電率を波長でプロットすると、どこかに極大点があって(物質ごとに極大点の波長は異なる)、上に凸の(例えば)二次曲線のようなグラフになるような気がするのですが、実際そうなのでしょうか？

　単一の共鳴実遷移前後での、誘電率の実部と虚部、屈折率と焦衰係数の波長依存性は特徴的な構造を持ちます。このグラフは光物性の教科書にはたいてい出ています。誘電率の虚部、屈折率、焦衰係数は上に凸の形、誘電率の実部は左右非対称で上がったり下がったりするちょっと特徴的な形をしています。
　実際の物質のこれら光学定数は、さまざまな遷移が重なっているので複雑な形をしています。しかし、上記の基本形の和に分解することが可能です。また、実際の物質の光学定数を、これら基本形の和としてモデル化して解析するということも、分光エリプソメーターという評価手法を用いる人の間では良く行われます。

>ミクロで起こっている現象の中に出てくる何らかの物理定数と関係付けられるような気がします。

　その通りです。例えば半導体では、さまざまなエネルギーで実遷移をおこすのですが、特異点といって特に遷移を起こしやすいエネルギーが何個かあり、光学定数の波長依存性にそれらの特徴が現れます。この特異点は、価電子帯と伝導帯のバンドの形が特定の条件を満たす所にだけ現れます。従って、光学定数の波長依存性を精密に調べる事で、半導体のバンド構造についての情報を引き出す事が出来、たとえば組成比を決定できたり、結晶性を知る事も出来ます。

ケーブルを伝播する電磁波の波長（速度）

この場合のケーブルとは、同軸ケーブルのことですね。

この回答への補足

> Maxwellの方程式から電磁波が伝わる速度は1/(ε・μ)^(1/2)

この回答への補足

Maxwell のモデル(たとえばラインの偏微分方程式)からスタートする議論はわかっているから、もっと遡行したい、というご趣旨のようですね。

この回答への補足

古典論の範囲でのイメージは、

この回答への補足

#2です。

この回答への補足

>抽象的な式だけでは完全にわかった気がしないので、なんとかイメージを掴みたいのですが、、無理なのでしょうか。

それでは、まるで質量の大きなものを動かすためには大きな力が要る。

この回答への補足

No.4です。

この回答への補足

> つまり、これによって誘電率の波長依存性が説明できるということでしょうか？

この回答への補足

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