問: x の関数 e^(-x) は正の実軸上において一様連続であることを示せ
添削していただきたいのは上の問です
解答: 任意のεに対してあるδ:=Log[1-ε] をとると
|x-y|<δ,∀x,y∈[0,∞)
⇒ |f(x)-f(y)|
= |e^(-x)-e^(-y)|
= |(1/e^x)-(1/e^y)|
= |(1/e^x)*(1-e^x/e^y)|
= (1/e^x)*|1-e^(x-y)|
≦ |1-e^(x-y)|
< |1-e^(Log[1-ε])|
=ε
自信ないです、よろしくおねがいします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
大体の流れは良いのですが、細かいミスが何箇所と、致命的なミスが一箇所あります。
>> 任意のεに対して --> 任意の ε > 0 に対して
>> あるδ:=Log[1-ε] をとると --> δ:= log ( 1 + ε ) とおくと
ε > 0 ですから、δ:= log ( 1 - ε ) とおいたのでは、δ < 0 になってしまいます。
>> |x-y|<δ,∀x,y∈[0,∞) --> | x - y | < δ (∀x, ∀y ∈ ( 0, ∞ ) )
「正の実軸上において一様連続~」といっているのですから、0 は含みません。
ここまでで、
| x - y | < δ --> | f ( x ) - f ( y ) | ≦ | 1 - e ^ ( x - y ) |
がいえました。
で、いちばん問題の箇所ですが、
>> ≦ |1-e^(x-y)|
>> < |1-e^(Log[1-ε])|
>> =ε
この部分の変形が、この証明における最大の欠陥です。
仮に、質問者さんがすべてを理解した上で書いたのだとしても、省略が多すぎます。
省略せずに書くとすれば、
| x - y | < δ より、
- δ < x - y < δ
よって、
e ^ ( - δ ) < e ^ ( x - y ) < e ^ δ
すなわち、
1/( 1 + ε ) < e ^ ( x - y ) < 1 + ε
各辺に - 1 をかけた後、各辺に 1 を加えると、
1 - ( 1 + ε ) < 1 - e ^ ( x - y ) < 1 - 1/( 1 + ε )
整理して、
- ε < 1 - e ^ ( x - y ) < ε/( 1 + ε )
ε/( 1 + ε ) < ε であるから、
- ε < 1 - e ^ ( x - y ) < ε
よって、
| 1 - e ^ ( x - y ) | < ε
以上で、証明は完成しました。
添削といいながら、ほとんど全部やっていただいちゃって、、、
ありがとうございます、助かりました。
ちゃんとεで抑えられてちょっと感動しました。^^
あと、0が含まれなければ
| x - y | < δ --> | f ( x ) - f ( y ) | < | 1 - e ^ ( x - y ) |
これは=いらないですよね
No.2
- 回答日時:
>> あと、0が含まれなければ
>> | x - y | < δ --> | f ( x ) - f ( y ) | < | 1 - e ^ ( x - y ) |
>> これは=いらないですよね
回答への補足なのか、ダメ出しなのか、判断に迷ったのですが ^^;
ただ、私自身もいくらか迷った部分なので、回答を追加します。
x > 0 であれば 1/e^x < 1 ですから、等号は必要ないかもしれません。
ですが、あえて等号を含めたのは、x = y という可能性を捨てきれなかったからです。
一様連続の定義では、なぜか
0 < | x - y | < δ ならば
ではなく、
| x - y | < δ ならば
が使われます。よって、「勝手に x ≠ y と解釈してはいけないのかな?」と思ったのです。
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