出産前後の痔にはご注意!

問: x の関数 e^(-x) は正の実軸上において一様連続であることを示せ

添削していただきたいのは上の問です

解答: 任意のεに対してあるδ:=Log[1-ε] をとると

|x-y|<δ,∀x,y∈[0,∞)

⇒ |f(x)-f(y)|

= |e^(-x)-e^(-y)|

= |(1/e^x)-(1/e^y)|

= |(1/e^x)*(1-e^x/e^y)|

= (1/e^x)*|1-e^(x-y)|

≦ |1-e^(x-y)|

< |1-e^(Log[1-ε])|



自信ないです、よろしくおねがいします。

A 回答 (2件)

大体の流れは良いのですが、細かいミスが何箇所と、致命的なミスが一箇所あります。



>> 任意のεに対して --> 任意の ε > 0 に対して

>> あるδ:=Log[1-ε] をとると --> δ:= log ( 1 + ε ) とおくと
ε > 0 ですから、δ:= log ( 1 - ε ) とおいたのでは、δ < 0 になってしまいます。

>> |x-y|<δ,∀x,y∈[0,∞) --> | x - y | < δ (∀x, ∀y ∈ ( 0, ∞ ) )
「正の実軸上において一様連続~」といっているのですから、0 は含みません。

ここまでで、

| x - y | < δ --> | f ( x ) - f ( y ) | ≦ | 1 - e ^ ( x - y ) |

がいえました。

で、いちばん問題の箇所ですが、

>> ≦ |1-e^(x-y)|

>> < |1-e^(Log[1-ε])|

>> =ε

この部分の変形が、この証明における最大の欠陥です。
仮に、質問者さんがすべてを理解した上で書いたのだとしても、省略が多すぎます。

省略せずに書くとすれば、

| x - y | < δ より、

- δ < x - y < δ

よって、

e ^ ( - δ ) < e ^ ( x - y ) < e ^ δ

すなわち、

1/( 1 + ε ) < e ^ ( x - y ) < 1 + ε

各辺に - 1 をかけた後、各辺に 1 を加えると、

1 - ( 1 + ε ) < 1 - e ^ ( x - y ) < 1 - 1/( 1 + ε )

整理して、

- ε < 1 - e ^ ( x - y ) < ε/( 1 + ε )

ε/( 1 + ε ) < ε であるから、

- ε < 1 - e ^ ( x - y ) < ε

よって、

| 1 - e ^ ( x - y ) | < ε

以上で、証明は完成しました。
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この回答へのお礼

添削といいながら、ほとんど全部やっていただいちゃって、、、
ありがとうございます、助かりました。
ちゃんとεで抑えられてちょっと感動しました。^^

あと、0が含まれなければ
| x - y | < δ --> | f ( x ) - f ( y ) | < | 1 - e ^ ( x - y ) |
これは=いらないですよね

お礼日時:2009/10/27 23:16

>> あと、0が含まれなければ


>> | x - y | < δ --> | f ( x ) - f ( y ) | < | 1 - e ^ ( x - y ) |
>> これは=いらないですよね
回答への補足なのか、ダメ出しなのか、判断に迷ったのですが ^^;
ただ、私自身もいくらか迷った部分なので、回答を追加します。

x > 0 であれば 1/e^x < 1 ですから、等号は必要ないかもしれません。
ですが、あえて等号を含めたのは、x = y という可能性を捨てきれなかったからです。

一様連続の定義では、なぜか

0 < | x - y | < δ ならば

ではなく、

| x - y | < δ ならば

が使われます。よって、「勝手に x ≠ y と解釈してはいけないのかな?」と思ったのです。
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この回答へのお礼

なるほど。奥が深いのですね、勉強になりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/10/29 07:57

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Q一様連続でないの厳密な証明は?

微分積分の期末テストで次の問題が出ました。

次の命題の正誤を答えよ。ただし理由も与えること。

命題:関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続である。

この問題で自分は次のように解答しました。

(証)αを与えられた区間内の任意の要素とし、εを任意の整数とする。

あるδとしてmin.(ε/2|α|+1,1)とする。

このとき|x-α|<δ⇒|f(x)-f(α)|=|x^2-α^2|=|xーα|・|x+

α|<・・・・・(略)<δ(2|α|+1)<ε

となり、故にf(x)=x^2は区間[0,∞)で一様連続でない。(なぜなら、δがε

だけでなくαにも依存するから)

この解答で一応マルはもらえたのですが、はじめにδを上のようにしたものだけを考

えていい理由は何なんですかね?もしかしたらεだけでδを表せるかもしれないの

に。考えてはみてるんですがなかなか納得のいく答えが見つかりません。よかった

ら力になってください。よろいくお願いします。

Aベストアンサー

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の問題(ε-δの応用問題は大体そうです)
を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。
まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∀α∈[a,b) ∃δ>0  ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)
でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。
一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∃δ>0 ∀α∈[a,b) ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)……(1)
となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。
この場合δはεだけに依存します。
そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから
∃ε>0 ∀δ>0 ∃α∈[a,b) ∃x(|x - α| < δ かつ |f(x) - f(α)| ≧ ε)……(2)
となります。(論理式の変形規則についてはご存知でしょうね)

つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に
対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。
これを示しましょう。

ε=1/2とし,任意のδを1つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。
x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件
|x - α| < δ を満たします。しかし
|f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε
ですから一様連続でないことがいえました。          ■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
(1)一応「一様連続でない」という結論はあっているので、
証明も正しいものと勘違いした
(2)実は先生もわかってない(まさかね^^;)
(3)一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
証明を読んで(間違いではあるものの)一様連続性についても
一応は理解しているものと判断して○にした。

というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の...続きを読む

Q一様連続と連続の違い

一様連続と連続の違いは何か。
εδでそれぞれの定義が示されていますが、見てもその違いがよくわかりません。
厳密でなくてもよいので違いはどういうことなのか教えてもらえないでしょうか。
違いがわかれば、一様連続の意味もわかると思いました。

Aベストアンサー

#7さんの
>「連続」+「有界」⇒「一様連続」
も,残念ながら誤りです.
この法則に当てはまる例が多いとはいえますが,すべてがそうではありません.
#4さんが挙げた例のひとつ,f(x)=sin(1/x) (x>0 を定義域として)は,連続かつ有界であって一様連続ではない関数の例です.

「連続」+「○○」⇒「一様連続」
と言う図式で,定理として証明可能な事実としては,
「連続」+「定義域がコンパクト」⇒「一様連続」
があります.
一方,
「連続」+「定義域がコンパクト」⇒「有界」
という定理もあります.
これらのことから,一様連続性と有界性には一見関係があるように錯覚する可能性がありますが,実は関係ありません.連続関数について,一様連続性と有界性の間には強弱関係は成り立ちません.

この質問に自信を持って回答しようとする優秀な解答者の方々でさえ,こういう勘違いをするのです.
「一様連続」とは何かを感覚的な説明で捉えようとすることは,そのぐらい「危うい」(誤りに陥りやすい)学習姿勢だということを,認識しておいてください.
別の言い方をすると,「一様連続とは何か」について,「ウソのない」感覚的な説明を見つけるのは,そのぐらい難しい(いくつかの例だけにあてはまる説明を安直に作るだけでは,どうしても漏れが生じる)ということです.
だからこそ,最終的には,言葉による厳密な定義をよりどころにするしかないのです.

連続性と一様連続性の違いを取り上げている参考文献をもう1件あげておきます.
新井紀子(著)「数学は言葉(math stories)」東京図書

#7さんの
>「連続」+「有界」⇒「一様連続」
も,残念ながら誤りです.
この法則に当てはまる例が多いとはいえますが,すべてがそうではありません.
#4さんが挙げた例のひとつ,f(x)=sin(1/x) (x>0 を定義域として)は,連続かつ有界であって一様連続ではない関数の例です.

「連続」+「○○」⇒「一様連続」
と言う図式で,定理として証明可能な事実としては,
「連続」+「定義域がコンパクト」⇒「一様連続」
があります.
一方,
「連続」+「定義域がコンパクト」⇒「有界」
という定理もあります.
これらの...続きを読む

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Q一様連続の証明

1/(1+x^2)がR上一様連続であることを示せという証明ができません。お手数ですが教えてください。

Aベストアンサー

おぉっ、補足してくれたのですね。

まず、直感的な理解になりますが、f(x)=1/(1+x^2) ってのは、
x=0で最大値1をとり、全域で正で、±∞付近では0に漸近する、とてもなだらかな曲線ですよね。
そして、その傾きは、一番きついところでも±1を超えないわけです。
ということは、一様連続なのは「直感的には明らか」ですね。

あとは、それをε-δで書き下せばよいわけですね。
このとき、εに対応するδの選択が面倒なわけですが、上記のような直感的な理解を助けとすれば「傾きの最大は1を超えない」→「f(x)=xと同程度のδを選べばよい」
→「existδ=εとすればよい」と回答の方針を決定できます。


あとは、ご存知のとおり、
|1/(1+x1^2)-1/(1+x2^2)|<εを示せばよいのですが、あいにくゴリゴリ計算する時間が今ないので、後で(後日?)、時間がとれたら、変形を書き下したいとおもいます。

あるいは、f’(1次導関数)の絶対値の最大値(多分1以下です)を求めれば直接的な変形をしなくても、
|f(x1)-f(x2)/(x1-x2)|<1が全域で示せるので
そのほうが容易かもしれません。

おぉっ、補足してくれたのですね。

まず、直感的な理解になりますが、f(x)=1/(1+x^2) ってのは、
x=0で最大値1をとり、全域で正で、±∞付近では0に漸近する、とてもなだらかな曲線ですよね。
そして、その傾きは、一番きついところでも±1を超えないわけです。
ということは、一様連続なのは「直感的には明らか」ですね。

あとは、それをε-δで書き下せばよいわけですね。
このとき、εに対応するδの選択が面倒なわけですが、上記のような直感的な理解を助けとすれば「傾きの最大は1を超えない」→「f...続きを読む

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
...続きを読む

Q関数列の一様収束

以下の関数列の一様収束の問題を、極限を出してεーδ論法で一様収束だろうと結論が出たのですが、本当にそうなのか分からないので、教えてください。
問題:
[0,1]上で、関数列f_n(x)=(x+n)/(2n+x)
(n=1,2,3・・・)の一様収束か調べよ。

Aベストアンサー

極限関数はf(x)=1/2
|fn(x)-f(x)|=x/2(2n+x)
これをg(x)=x/2(2n+x)とすると、g'(x)=n/(2n+x)^2>0
なので、g(x)は増加関数で、|fn(x)-f(x)|は[0,1]では
x=1で最大値をとる。
|fn(x)-f(x)|≦1/2(2n+1)
となって、[0,1]全体でxに無関係な式で押さえられ、
1/2(2n+1)→0なので、fn→fは[0,1]で一様収束である。

ε-N論法によるには、1/2(2n+1)<εより、
n>1/4ε-1/2なので、任意のε>0に対して、N=[1/4ε-1/2]+1
にとれば、n≧Nのとき、|fn(x)-f(x)|<ε
Nとして、xに無関係なものが取れているので、一様収束
であることがわかる。

ε-N論法は面倒なので、sup(x∈I)|fn(x)-f(x)|→0(n→∞)

を考えた方が良くない?

Q数学科は楽という噂は本当ですか?

大学の数学科は実験もないし、卒論もないから楽だという噂を聞いたのですが本当でしょうか?また就職の求人が少ないということも聞きました。僕は工学部ですが数学には苦しめられてきたんで数学科は楽ではないとは思うのですが実際はどうなんでしょうか?特に数学を専門にされている方に教えて頂きたいです。

Aベストアンサー

下の方々の意見からわかるとおり、個人の問題でしょう。
あと、卒論とかゼミとかも大学によりけりかと・・・。
ちなみに、僕は某国立大学ですが、ウチの理学部数学科は1年から2年で45%が留年と聞きました。
部活の後輩で数学科のヤツは、授業では1日中数学やってるはずなのに、0と1以外の数字をココ数週間見てないと言っていました。
僕個人、高校数学が得意でかなり好きだったのですが、数学科に入らなくて本当によったと思いました。化学はやってて楽しいです。
バイト先の数学科の人に、「数学科の就職って数学教師以外に何があるんですか?」って聞いたら、「ないよ。数学は趣味。」ってあっさり即答されました。
大学って本来そういう人が行くべきなんだろうなぁと思いました。

Q中間値の定理を用いて実数解をもつことの証明

方程式f(X)=x3乗+aX二乗+bx+C=0は

定数a,bのいかんにかかわらず一つの実数解を持つことを中間値の
うが
定理を用いて証明せよという問題があります。

適当にX=2、X=-4とかでf(X)の符号が違うことを

示して証明しようと思ったのですが

a、b、cと文字がでてくるので大小関係がわからず証明できずに

こまっています

どなたか教えてください

Aベストアンサー

少し荒っぽいですが中間値の定理を使うならば
この問題ではX^3の係数が1であることがポイントだと思います
グラフがN形をしていてXを∞にするとa,b,cの値を考えなくてよくなると思います。グラフの形を考えるのが中間値の定理のポイントだと思います。

 関数 f(X)=x3乗+aX二乗+bx+Cのグラフは-∞から∞の範囲で
 連続です(グラフが切れてない。つながっているということです)
ここでXの値をどんどん大きくすると aの値が大きくても、もっともっとXの値を正の実数で大きくしていくと f(x)の値は X^3がずば抜けて大きくなってほとんどX^3を値になります。 つまり X→∞のときf(x)→∞
ですね。
次に、今度は反対にXの値をどんどん小さく、負の実数を考えて-∞にします。やはりX^3の値が一番小さくてf(x)の値はX^3を値になります。つまり X→-∞のときf(x)→-∞を考えます。 
これを使って
「関数 f(X)のグラフは-∞から∞の範囲で連続。X→∞のときf(x)→∞
X→-∞のときf(x)→-∞ であるから 中間値の定理によってすくなくとも
一つf(x)=0となる実数xが存在する」
ゆえに、方程式f(X)=x3乗+aX二乗+bx+C=0は
定数a,bのいかんにかかわらず一つの実数解を持つ
ではどうでしょうか?
この問題ではX^3の係数が1であることがポイントだと思います
グラフがN形をしていてXを∞にするとa,b,cの値を考えなくてよくなると思います

少し荒っぽいですが中間値の定理を使うならば
この問題ではX^3の係数が1であることがポイントだと思います
グラフがN形をしていてXを∞にするとa,b,cの値を考えなくてよくなると思います。グラフの形を考えるのが中間値の定理のポイントだと思います。

 関数 f(X)=x3乗+aX二乗+bx+Cのグラフは-∞から∞の範囲で
 連続です(グラフが切れてない。つながっているということです)
ここでXの値をどんどん大きくすると aの値が大きくても、もっともっとXの値を正の実数で大きくしていくと f(x)の値は...続きを読む


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