等産出量（等量）曲線の形について

先生と議論になったので、質問させてください。
以下は、生産要素が2財の場合の話です。一般のミクロ経済学のテキストの生産者理論におけるところの話です。

一般の教科書には、技術的限界代替率は逓減するため、等量曲線は原点に対して凸の形になると書かれています。
たしかに、効用関数のように、どの生産量においても限界生産性逓減の法則が成り立つならば、そうなると思います。

しかし、生産関数は、通常Ｓ字型をしており、一定の投入量までは、限界生産性は逓増すると書かれています。

そうであるならば、少なくとも限界生産性が逓増する範囲においては、技術的限界代替率は逓増するので、等量曲線は原点に対して凹の形になるのではないでしょうか？これは、一般の教科書に書かれている、等量曲線は原点に対して凸になるということ食い違っていませんか？それとも、両者は食い違うものではないのでしょうか？

わかりづらい質問でしょうが、教えてくださるとありがたいです。

No.3 回答者： aimaina 回答日時： 2009/10/31 14:30

「技術的限界代替率は逓減するため、等量曲線は原点に対して凸の形になる」というのは、既にどなたかの回答にあるように、等量曲線の上の各点の傾きを比較したときの話です。

　一方、「一定の投入量までは限界生産性は逓増する」というのは、例えば資本の量を固定して、労働力投入を増加させたとき、あるところまでは生産量の増加率が高まる（＝規模の経済、スケールメリット）ということですから、２次元グラフで言えば、Ｙを一定として水平な線を引いたときの一定の投入量までは等量線の間隔が狭くなっていく（急傾斜地になると地図の等高線の間隔が狭まるのと同じ）ということです。（X＝労働、Y=資本）

　要するに、別の話ということです。

No.2 回答者： bigorange9 回答日時： 2009/10/31 10:31

おっしゃっているのは短期生産関数のことかと思いますが、その場合でも等産出量曲線の形状は変わりません。

生産関数における限界生産力の増減と、「ある一定の生産量の下での」技術的限界代替率の変化とは別問題です。等産出量曲線は「生産量を一定＝Yとしたとき、それを実現するための生産要素KとLの組み合わせの軌跡」ですよね。たとえばKの投入量を減らしたときに同じYを維持するためには、より多くのLの投入が必要になります。Kの絶対量が少ないほど、K１単位の減少をカバーするために必要なLの必要投入量が増えるという意味で、限界代替率の曲線は原点に向かって凸になるわけです。その際、生産関数の形状は関係していないことに注意してください（前提としてY＝一定だから）。

西村和雄「ミクロ経済学入門」なども参照。
図が出ているので一発で分かります

No.1 回答者： bigorange9 回答日時： 2009/10/30 11:15

生産要素を労働＝L、資本＝Ｋ、産出量＝Yとします。

X軸にL、Y軸にK、原点から垂直にZ軸を立てて、Yとする三次元の図を描いてみてください。すると、Z軸の各段階での等高線がその生産水準での限界代替率の曲線になります。生産関数に限界生産力逓減の法則が働く場合でも、各生産水準では限界代替率の曲線は原点に向かって凸になっています。

この回答への補足

>生産関数に限界生産力逓減の法則が働く場合でも、各生産水準では限界代替率の曲線は原点に向かって凸になっています

限界生産力「逓減」の法則が働く場合は、等量曲線が原点に対して凸なのは、理解しております。問題は、限界生産力が「逓増」しているところの話です。

労働の生産関数はS字型をしていると考えられており、ある一定の労働投入量までは、限界生産力が逓増している、この部分について知りたいのです。

また、私は三次元の図に大変弱く、三次元で言われてもあまり理解ができません。できれば、平面でもわかるように説明してくださると助かります。

わがままなお願いですが、お願いします。

補足日時：2009/10/30 15:40