円錐の切断の体積

円錐　z>=0,x^2+y^2=<(1-z)^2　をz=xで切断したとき、z>=0,x>=0
の部分の体積を求めよ。

　重積分を使うと求められますが、計算が大変なので何か別解があったらお願いします。

No.6 回答者： info22 回答日時： 2009/11/12 04:09

#5で図がうまくアップできていませんでしたので図を貼りなおしました。

No.5 回答者： info22 回答日時： 2009/11/12 03:54

#1,#2,#3です。

A#2のVの積分の式は合っていますが、
計算の結果に間違いがありましたので訂正します。
誤：V≒0.21598364
正：V=(π/6)-(2/9)≒0.30137655　…(A)

[別解]平面z=xの下の部分V1と円錐面の下の部分V2に分割して積分すると積分しやすいですね。
媒介変数とヤコビアンを使って変数変換して積分しても同じ結果が得られました。
V1=2/15,V2=(π/6)-(16/45), V=V1+V2=(π/6)-(2/9)

#4さんの積分方とは異なりますが積分結果は同じになりました。

No.4 回答者： nag0720 回答日時： 2009/11/11 22:50

重積分を使う場合でも、積分する方向を工夫すればある程度は簡単になります。

z=xと平行な平面で切断したときの断面は放物線になるので、これを重積分すれば、体積がでます。
さらに簡単にするために、この放物線を高さを変えないでz軸方向にななめにずらすと、放物線の式は、
z=(1-x)(1-y^2/(1-x^2))/2
よって、体積は、
∫[0→1](2∫[0→√(1-x^2)](1-x)(1-y^2/(1-x^2))/2dy)dx
=2/3∫[0→1](1-x)√(1-x^2)dx
=π/6-2/9
≒0.3014

＃２とは違ってますが、
円錐の体積はπ/3、
z=xで切断したときの一番上の高さは、z=1/2
底面を半円にして、高さをz=1/2とした場合の半円錐の体積は、π/12≒0.2618
求めたい体積は、これよりも大きくなる気がするのですが・・・

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/11/11 19:12

>重積分を使わないで、幾何的にもとめることはできないでしょうか

この立体については公式を見たことはありません。
ネットでも立体の体積の公式や一覧表が載っているサイトを数10箇所検索してあたってみましたが、他の立体の公式はあっても、質問の立体については見つかりませんでした。

重積分も超越関数（特殊関数）の楕円積分が出て来るので大学の数学レベルの問題かと思います。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/11/11 17:23

対称性からy≧0の部分の体積を2倍すればいいので、求める体積Vは

V=2∫[0→1]
[∫[0→(1-y^2)/2] x dx
+∫[(1-y^2)/2→√(1-y^2)] {1-√(x^2+y^2)}dx] dy
で表されます。
この積分を実行すると　V≒0.21598364
となりました。

合っているかは保証の限りではないので自分で計算してチェックして見てください。

この回答への補足

重積分を使わないで、幾何的にもとめることはできないでしょうか
例えば、球の体積は　表面積（底辺）×半径（高さ）÷3というように
三角錐の集まりとみなして考えるように。

補足日時：2009/11/11 17:36

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/11/11 15:21

問題文だけでは求める部分の立体が確定しません。

z≦xといった条件

または
1≧z≧xといった条件

を書き忘れていませんか？

この回答への補足

ご指摘の通り、
円錐　0=<z=<1,x^2+y^2=<(z-1)^2 をz=xで切断したとき、
この円錐の z=<x の部分の体積を求めよ。でした。すみませんでした。
　よろしくお願いします。

　

補足日時：2009/11/11 15:34