ある数学の問題

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質問者：kya38be2
質問日時：2009/11/17 20:37
回答数：3件

高校の数学の先生が「この問題解いてみ。中学れべるやで。大学入試の問題やけど」といって出した問題が

「正四面体Ｔと半径１の球面Ｓとがあって、Ｔの６つの辺が全てＳに接しているという。Ｔの１辺の長さを求めよ。」

私は、２√３かなと思うんですが（私の断面図が合ってれば・・・）
合っていますか？
ぜひ教えてください。

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回答 (3件)

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No.3

回答者： tksmsysh
回答日時：2009/11/17 22:00

確かに、辺の長さを求めるだけなら中学レベルです。

しかし、「等面四面体(4つの面が合同な四面体)は直方体の内接四面体である」という事実を知らなければ逆に難しいでしょう(ちなみに「」内の証明は高校数学の範囲で可能です)。
本問のでは、等面四面体=正四面体のため、直方体=立方体という特殊な場合となります。立方体を図に書いてどの2つも隣り合わない4頂点を結ぶと正四面体が得られます。

さて、求める辺の長さですが、球面Sもまた題意より立方体に内接する球となるので、立方体の1辺の長さは1*2=2です。正四面体Tの1辺の長さは立方体の面の対角線のそれに等しいので、√(2^2+2^2)=2√2です。

この問題は1982年東京大学(理科)で出題されたもので、この問いの後に
「Tの外側にあってSの内側にある部分の体積を求めよ」とあります。これは回転体の体積の考えがいるので数IIIの範囲です。
ちなみにこの答えは「8(9-4√3)π/27」です。やってみるといいですよ。

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この回答へのお礼

東大のでしたか・・・。
丁寧にありがとうございます!!
考えてみますｗ

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お礼日時：2009/11/20 18:35

No.2

回答者： info22
回答日時：2009/11/17 22:00

正4面体の図

http://sansuu.noblog.net/image/10190994.gif
から、交わらない辺AD-BC間の距離がSの直径になります。
Sの半径を1とすると2等辺△EAD（AE=DE）の高さHが2になる。

△EADの各辺の長さと高さHの比は
AD:DE:AD:H=√3:√3:2:√2なので
AE=DE=√6,AD=2√2と出てきます。

ADが正四面体の一辺の長さになります。