![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?8acaa2e)
R^3の空間において、v1,v2∈R
v1=(1,0,0),v2=(0,1,0)は一次独立だがR^3の基底では無い。
なぜ、このベクトルv1,v2は一次独立となるのでしょうか?
基底とならないことは理解できます。
正方行列でなければ、行列式が作れないはずなのに・・・
2つのベクトルを行列の形に並べると(行列のカッコは表記上つけられませんでした・・)
10
01
00
となり、階段行列よりrank=2なので
10
01
の行列について考えれば良いという事でしょうか?これなら、一次独立であることは理解できます。
また、R^2の空間においては、
10
01
00
は、基底となりうるのでしょうか?
R^2の場合、3行まであるような表記はしない?
ご回答よろしくお願い致します。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>定義を確認しました。
そう.その内容で正解です.
>行列式≠0が一次独立と思って下りました・・・
これは間違いではないのです.
R^nにおいて,n個のベクトルv1,..,vnが一次独立であるための
必要十分条件はそのベクトルを並べて作られる行列
(v1 v2 ... vn)の行列式が0ではない
ということと同値だから.
ただし,大事なのは
n次元の空間で,n個のベクトルというように
次元とベクトルの個数がそろっているということ.
そして,n次元の空間でn個のベクトルが一次独立ならば
それらは基底になるのです.
これは「任意のベクトルを生成する」という条件が
「n次元でn個のベクトル」という「個数がそろっている」ということに
置き換わっていると解釈できるのです.
No.2
- 回答日時:
・・・「定義を大事する」「定義を理解する」と
何度でもいいましょう.
基底の定義,一次独立の定義を理解してますか?
一次独立であっても,基底になれないなんてことは
当たり前にあるのです.
一次独立で,かつ,任意のベクトルを生成できるものを
基底というのです.
だから,基底というのは一次独立であるということよりも
条件がたくさんあるのです.
>正方行列でなければ、行列式が作れないはずなのに・・・
これ以降の質問文の内容は
まったく意味がありません.
#R^2なのに成分が三つあるなんて・・・
アフィン空間のときもそうでしたが,
自分独自の世界を構築して
そこで混乱するというのはもう卒業しましょう.
・定義を理解する
・自分で計算する
・きちんと紙に書いて考える
・勝手な解釈はしない
まずはそれからです.
ご回答ありがとうございます。
定義を確認しました。
ベクトルv1,・・・,vn∈Vに対して、v=a1v1+・・・anvn∈V,a1,・・・an∈Rを
v1,・・・,vnの一次結合と言って、
このときa1v1+・・・+anvn=0をv1,・・・,vnの一次関係という。
一次関係を満たす係数が、a1=0,・・・an=のみであるときv1,・・・,vnは一次独立。
(VはR(体)上のベクトル空間)
ここで、質問内容に立ち返るとv1=(1,0,0),v2=(0,1,0)なので、
a1(1,0,0)+a2(0,1,0)=(0,0,0)
(a1,0,0)+(0,a2,0)=(0,0,0)なので、a1=0,a2=0より一次独立。
定義を疎かにして、行列式≠0が一次独立と思って下りました・・・
申し訳ありませんでしたm(__)m
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 線形代数学の問題です! Vは 4 次元ベクトル空間とし線形変換 f ∶ V→ V のある基底 v1, 1 2022/06/12 09:25
- 数学 3次元実ベクトル空間において, 平面 P:x-y+z+1=0 と直線 L:2(x-1)=-y=-z 3 2022/10/29 14:39
- 数学 誤字があり再質問 『平面ベクトルにおいての一次独立の定義』 2つのベクトルが0→ではない。平行でない 2 2023/04/28 16:54
- 数学 線形代数についての問題がわからないです。 1 2023/01/08 14:53
- 数学 線形代数 部分空間 基底 次元 3 2023/01/24 03:40
- 数学 数学 平面ベクトルにおける「一次独立」の定義は 3つのベクトルの大きさが0でない。平行でない。 でし 3 2023/04/10 02:25
- 数学 a1,a2, a3をベクトル空間Vのベクトルとする。a1+a2,a2+a3,a3+a1が一次独立のと 2 2022/10/02 15:55
- 物理学 テンソル ひずみのマトリクス表記 3 2022/04/23 21:22
- 数学 編入試験の勉強中に分からないところがあって困っています。線形写像の表現行列に関する質問です。 1 2023/06/17 11:24
- 数学 代数学のわからない問題を教えて頂きたいです。 つぎのn次正方行列の集合Hはn次一般線形群GL(n,R 5 2022/11/19 20:47
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
おすすめ情報