基本的なΣの虚数計算

Σ(k=0～∞)(3/(2^k) + 2i/(3i^k))
という問題なのですが、Σ(k=0～∞)x^k=1/(1-x)という公式で解こうとしたのですがうまくいきませんでした。
どのようにして解けばいいのでしょうか？？
お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/12/18 00:27

i^kは、周期 4で繰り返しになります。

i^k= 1, i, -1, -i, 1, i, -1, -i, …（k= 0, 1, 2, 3, …）
オイラーの式から i^k= i* sin(kπ/2)と複素平面を考えてもわかりますね。

ですので、k= 4m, 4m+ 1, 4m +2, 4m+ 3で分けてしまいます。
Σ記号もそれぞれの場合に分けてしまいます。
そして、それぞれのΣを計算します。（2項は実数、2項は虚数になります。）

i^kが 1になる者同士／ iになる者同士／ -1になる者同士／ -iになる者同士
を別々に寄せ集めていることになります。
その意識をもっておけば、「係数」になるところの計算が見えてくると思います。

この回答へのお礼

よくわかる説明ありがとうございました。

お礼日時：2009/12/18 01:27

No.3 回答者： alice_38 回答日時： 2009/12/18 03:45

第2項の分母 3i~k は、

3(i~k) でしょうか、(3i)~k でしょうか？

3(i~k) であれば、質問の Σ は収束しません。
Σ[k=0→n] の部分和が、
n を 4 で割った余りにごとにどうなるか
何項かたどってみれば解るでしょう。
失笑せずに、♯1 のヒントを検討すべきでした。

♯2 については、
絶対収束しない級数の項順は変えてはいけない
ことを思い出しましょう。

分母が (3i)~k であれば、
等比級数の公式で、問題無く総和できます。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/12/18 00:22

>Σ(k=0～∞)x^k=1/(1-x)という公式で解こうとしたのですがうまくいきませんでした。

その公式が適用できる x の範囲を補足にどうぞ

この回答へのお礼

(を捕捉にどうぞ)ってやつ今はやっているのですか？？失笑

お礼日時：2009/12/18 01:29