なんどもすいません

2桁の自然数でその２乗した数の下の２桁がもとの２桁の自然数に一致するものがある。このような２桁の自然数を求めるには？


2桁の自然数を 10X＋y(1≦x≦9,0≦y≦9)
x,yは整数とおくと、
(10x＋y)＾2=100＾2＋2×10xy＋y＾2
=100＾2＋10・2xy＋y＾2

ここまでしかわかりません。
できれば、丁寧におしえてくもらえるとうれしいです

No.1 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/05/21 19:24

(10x＋y)＾2=100x＾2＋2×10xy＋y＾2

100x^2は１００以上になってしまうので関係なくなります。

20xyの部分は１の位が０ですから
１の位はy^2から出てきます。
２乗して１の位が同じになるのは１，５，６のいずれかです。

後はしらみつぶしに調べていけば何とかなるでしょう。
ただ　20xyに繰り上がりの可能性があるので少し厄介かも。

たとえばｙ＝６のとき
２０ｘｙ＋ｙ＾２＝１２０ｘ＋３６＝ａ＋１０ｘ＋６（ａは１００の倍数）
110x+30=a
ｘに数字を入れてａが１００の倍数になるような数があるかどうか考えます。ｘは９までとすると1つありますね。

No.2 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/05/21 19:28

残念ながらその方針は有望でないのでやめたほうがよいと思います．（よほど力のある人でないと押し切るのは無理でしょう．）

No.552800で＃３さんが示して下さったアドバイスが最も適切な方法です．補足をして＃３さんにお聞きになるのが一番良い方法でした．

仕方がありませんので，いくらか筋を示しておきます．

求める２桁の整数をｎとして，
ｎ^2－ｎが100で割り切れることが，n^2とｎの下２桁が一致する条件です．

n^2－n＝n(n－1)　であり，ｎ－1とｎは連続する２つの整数・・・（＠）なので，100＝25×4　より，nかn-1のどちらかが25で割り切れることが必要です．[（＠）から，どちらも５で割り切れることはありえないから．]
同様に，どちらかが４で割り切れることも必要です．[ともに偶数ということは起きない．]

すると後はｎは２桁の自然数ですから，しらみつぶしでも何とかなるでしょう．

No.3 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/05/21 19:35

＃２です．

補足ですが
＞残念ながらその方針は有望でないのでやめたほうがよいと思います．

投稿の際に＃１のご回答に気づかなかったので，誤解を生む文になってしまいましたが，これは，質問者さんの最初の方針のことです．

＃１さんのご回答に関してではありませんので，悪しからずご了承下さい．

No.4 回答者： noname#6138 回答日時： 2003/05/21 20:05

#1 さんと同じ方法で良いと思います。

最初の数をAとし、
A = 10x+y とすると、
A^2 = 100x^2+20xy+y^2
最初の項は１００の倍数なので、下二桁には関係ない。
２つ目の 20xy は、１０の倍数なので、下一桁には関係ない。
y^2 の１の位と y が等しいので、yは 0, 1, 5, 6 のいずれか。
（y＝０のときは、A^2 の下二桁は 00 になるので、xも 0 でなくてはならない
ので、A = 00 で自然数ではなくなるので除外できる）

A^2 の１０の位（これをBとする）は、　{ (20xyの１0の位)＋（y^2から繰り上がった数）}の１の位になる。
（20xyの１０の位は、2xyの１の位と同じ事。）
このBがxと等しい場合を調べれば良い。

y=1の場合：y^2から繰り上がりはないので、Bは 2xの１の位。これがxに等しいものはない。

y=5の場合：y^2からの繰り上がりは２。Bは(10x+2)の１の位。10xは１０の倍数なので、Bは常に２。
だから、x＝２とすればよい。

y=6の場合：y^2からの繰り上がりは3。Bは(12x+3)の１の位。これはしらみつぶしに調べると、
Bがxに等しいのは、x=7 の時だけ。
（x=0のときBは3。xがひとつ大きくなるとBは二つ大きくなるので比較的簡単に調べられる）

よって、求める答えは、２５と７６の二つ。

No.5 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/05/21 20:32

＃２です．

答えはもう示されたようなので，＃２の方針の解の続きです．

＃２では必要性のみ触れましたが，実は
「nかn-1のどちらかが25で割り切れ，かつどちらかが４で割り切れる」・・・（＠）ことが必要であり，逆にこの時n^2－n＝n(n－1)は25と４の最小公倍数100で割り切れるので十分条件でもあります．

従って条件（＠）が必要十分であり，これを満たす解を探します．

２桁の25の倍数は25，50，75の３つのみで，その前後±１と連続する２整数の組を作ったときに，どちらかが４で割り切れるような２整数の組は
(n-1,n)＝(24，25)，(75，76)の２組のみ．
よって，求める整数は25と76です．