出産前後の痔にはご注意!

 こんにちは。質問はタイトル通りです。以下、補足です。
 音楽は基本的にはドレミファソラシのどれかで構成されています。(例外にシャープやフラットなどがありますが)そして、その7つの音の高さは決まっていると学びました。ではその高さは何によって決まったのでしょうか? 例えばドとレの間にはたくさんの高さ(振動数とも言えます)の音がありえるのですが……。
 皆様の力をお貸しください。よろしくお願いします。

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A 回答 (8件)

No.3の回答者です。


謝辞とたくさんのコメントをありがとうございました。

>>>よく考えてみると「2」や「3」や「5」は全て「素数」ですね。

センスがいいですね。
ただ、2以外の素数同士の掛け算となると、その法則から外れます。
人間は2だけを「特別扱い」しますから。


>>>と、なると「7」倍音や「11」倍音はどうなるか興味が沸いてきます。

上記の通り、素数ではない9倍音も、独立的な音名になります。

表計算ソフトを使うのが簡単ですが、Googleを電卓として使う手もあります。

xの半音階の音程 = 底を2としたxの対数 × 12
 = 底をeとしたxの対数 ÷ 底をeとした2の対数 × 12
 = 12ln(x)/ln(2)

1倍音
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&source=hp&q …
ドから0半音上なのでド。

3倍音
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=12*ln%283 …
ドから19半音上(1オクターブ+7半音)なので、ソ。

5倍音
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=12*ln%285 …
ドから28半音ぐらい上(2オクターブ+4半音)なので、ミ。

7倍音
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=12*ln%287 …
ドから34半音ぐらい上(2オクターブ+10半音)なので、だいたいシ♭。

9倍音
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=12*ln%289 …
ドから38半音上(3オクターブ+2半音)なので、レ。

11倍音
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=12*ln%281 …
ドから41半音か42半音ぐらい上(3オクターブ+5~6半音)なので、ファとファ#の中間ぐらい。


ちなみに、
私はトランペットを吹いていたことがあり、比較的上手な方ではありましたが、
音程のコントロールができたのは9倍音までです。
なぜならば、上の音に行くほど倍音同士の間隔が狭いので、隣の倍音の音に外れやすくなるからです。
的の区切りが細かいダーツみたいなものです。
交響曲も、金管楽器に課している音程は、大概、9倍音までになっています。
「はぐれ刑事純情派」のテーマなんかを聴くと、それより上の音をコントロールしていますから、「すげー」と思ったりします。


それから、もう一つ別の話があります。

私を含め、回答者さん達のこれまでの説明は、全部、1つの音には1つの周波数が対応しているかのような説明に
なっていますが、実際は違います。

「1つの音に1つの周波数」は、あくまでも正弦波の場合だけです。
(身近な楽器で正弦波に近い音を出すものといえば、私はリコーダーではないかと思います。)
私達は同じ音程であっても、何の楽器の音なのか、何を叩いた音なのか、誰の声なのか、ということを聴覚で区別できます。
それはなぜかというと、
最初から、2倍音、3倍音、・・・が混ざっているからなのです!
(シンセサイザー、特にアナログシンセサイザーをいじったことがある人ならば、経験的に知っています。)
それが「音色」です。

すなわち、「音色」というのは「倍音の成分比」と言えるでしょう。
お醤油大さじ1杯、塩少々、みたいな感じですね。
数学の「フーリエ級数」で説明されます。
音のスペクトルがオシロスコープみたいなモニタに表示されるのを、
テレビなどでご覧になったことがあると思いますが、あれのことです。

また長文になってしまいました。
では、これにて。
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この回答へのお礼

 こんばんは。
 何回も回答してくださり、ありがとうございました。楽器などは「2倍音」や「3倍音」なども混ざっているので、人間が区別できると分かりました。
 ONE-STEP様の補足がありがたかったのですが、この質問タイトルからでは求める回答は得られないと思うので、締め切らせていただきました。その点はONE-STEP様が新しく質問して頂けると幸いです。今まで長らく付き合って下さった皆様、本当にありがとうございました。
 3段落目のことをあなたのお礼内容として書いてすみませんでした。 
 とても参考になりました。

お礼日時:2010/02/05 18:55

えぇと, 今では多くの場合 A4 = 440 Hz ですが, 実際には曲にも依存したりする... と思って調べたら wikipedia にいろいろ書かれてる. 一部の分野では C4 = 256 Hz とかいうのもあったような.


あと, 今の普通の音楽では 1オクターブに半音単位で 12音入れてますが, アラブの方だと 48音とか 60音とか, もっとたくさん入っている場合があるそうです.
なお, 「音律と音階の科学」という本では 12音平均律の代わりに 16音平均律とか 17音平均律を使うものも紹介されています.

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9F%B3%E9%AB%98
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この回答へのお礼

 こんばんは。
 参考URLの提示、ありがとうございます。色々と調べてみました。1オクターブに48音や60音入っていることもあるのは生まれて初めて聞きました。音楽の世界も奥が深いです。
 とても参考になりました。

お礼日時:2010/02/05 17:10

純正律の場合


ドの1.5倍の周波数(振動数)がソです。ソの1.5倍がレです。ですからドの2.25倍がレです。しかしこれは1オクターブ上のレですから、半分にして、1.125倍(つまり9/8倍)が一番近いレということになります。
周波数の比が数学的に簡単な分数で表されるほど、和音がきれいに響きます。レ以外の音階も、そういう観点で作られます。

平均律の場合
ドとド#の間をx倍としましょう。上のドは2倍ですから、「xを12回掛け合わせた数」が2です。このxは、約1.0595です。

さて平均律でドとレの間の倍率を調べると、1.0595の2乗=1.122ですから、平均律のレは純正律のレよりも「僅かに低い」ことになります。

純正律は「和音が澄んでいる」のが特徴ですが、平均律は「1つの鍵盤で何調でも自由に弾ける」のが特徴です。現代人は「ほとんど平均律でガマンしている」といえましょう。
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純正律の場合


ドの1.5倍の周波数(振動数)がソです。ソの1.5倍がレです。ですからドの2.25倍がレです。しかしこれは1オクターブ上のレですから、半分にして、1.125倍(つまり9/8倍)が一番近いレということになります。
周波数の比が数学的に簡単な分数で表されるほど、和音がきれいに響きます。レ以外の音階も、そういう観点で作られます。

平均律の場合
ドとド#の間をx倍としましょう。上のドは2倍ですから、「xを12回掛け合わせた数」が2です。このxは、約1.0595です。

さて平均律でドとレの間の倍率を調べると、1.0595の2乗=1.122ですから、平均律のレは純正律のレよりも「僅かに低い」ことになります。

純正律は「和音が澄んでいる」のが特徴ですが、平均律は「1つの鍵盤で何調でも自由に弾ける」のが特徴です。現代人は「ほとんど平均律でガマンしている」といえましょう。
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この回答へのお礼

 こんばんは。
 丁寧な回答ありがとうございます。「純正律」と「平均律」の違いがよく分かりました。<周波数の比が数学的に簡単な分数で表されるほど、和音がきれいに響きます>のはなんとなく分かる気がします。「レ」に於ける純正律と平均律の違い「0.003」倍は人間の耳では区別が厳しい気がします。
 とても参考になりました。

お礼日時:2010/02/05 17:04

回答になっていませんが、補足します。


みなさん詳しく解説されていて間違っていないのですが、
質問者のお聞きになりたいことを、正しく理解されていないのでは?
多分、質問の趣旨は、基音はどうやって決められたのか?だと。
単に基準としただけ、であれば、決まるまでの敬意や歴史とか。
時代によって変遷があるかと思いますが、詳しくないので、他の方の
回答を待ちます。何ヘルツなんて測定できない昔のピッチをどのように
研究されているのか興味があります。
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この回答へのお礼

 こんにちは。
 わざわざ補足してくださりありがとうございます。説明不足でした。あなたの書かれたとおり、「基音」の決めるまでの敬意や歴史などが知りたいと思っております。
 また、あなたの書かれたとおり「今」は音の高さは決まっていますが「中世ヨーロッパ」などでは音の高さは実は曖昧だった気がします。例えばベートーベンが書いた楽譜と現代の楽譜は基音が違う気がします。もし違っていた場合、当時の楽譜通りに演奏したら原曲とはやや違う曲になってしまいそうです。また、「ベートーベン」「リスト」「シューベルト」「ショパン」「モーツァルト」「チャイコフスキー」など、時代と出身国が違う場合には楽譜記号も違っているはずです。と、すると彼らの創った曲を再現するのは困難かと考えております。
 以下は参考にして下さい。
 例えばバイオリンを弾く場合に音の高さは楽器によって違います。口笛や歌でも20~20000ヘルツ(可聴音)の大体の音を出すことが出来ます。他方ピアノは調律すれば可聴音としてたくさんの曲を聴くことが出来るでしょう。しかし調律しないとどうしても「飛び飛び」の音になってしまいます。「調律」自体も歴史によって違うかと思います。
 とても参考になりました。

お礼日時:2010/02/05 10:35

こんばんは。



一言で言えば、「ドとソをハモらせるため」です。

まず、人間の聴覚(脳も含む)には、ある1つの音に対して2の整数乗倍の音(2倍音、4倍音、8倍音、16倍音、・・・)が、
高さは違えど「同じ音」に聞こえるという、極めて不思議な性質があります。
そこで、
周波数が2倍、4倍・・・になる毎に「オクターブ上」、
1/2、1/4、1/8・・・になる毎に「オクターブ下」
というふうに、決めました。
ここまでが第一段階です。

2倍音と来れば、次は3倍音、6倍音、12倍音・・・です。
これが「ソ」です。
これが第二段階です。

「ド」の周波数をfと置けば、
1オクターブ上のドの周波数は、2f
2オクターブ上のドの周波数は、4f
3オクターブ上のドの周波数は、8f
4オクターブ上のドの周波数は、16f
・・・・・
といった具合です。

これを、底を2とした対数で表せば、
1倍音 logf
2倍音 log(2f) = logf + log2 = logf + 1
4倍音 log(4f) = logf + log4 = logf + 2
8倍音 log(8f) = logf + log8 = logf + 3
16倍音 log(16f) = logf + log16 = logf + 4
となりますから、
等間隔(間隔は1)です。


そして、物理的に、3倍音、6倍音、・・・ もハモります。
これを、底を2とした対数で表せば、

log(3f) = logf + log3 = logf + 1.5849625
 = logf + 1 + 0.5849625

log(6f) = logf + log6 = logf + log2 + log3
 = logf + 1 + 1.5849625 = logf + 1 + 1 + 0.5849625
 = logf + 2 + 0.5849625

ここで、0.5849625 という数にある整数をかけた結果が、なるべく整数に近くなるケースを探します。
試行錯誤です。
0.5849625 × 1 = 0.5849625
0.5849625 × 2 = 1.169925
0.5849625 × 3 = 1.7548875
0.5849625 × 4 = 2.33985
0.5849625 × 5 = 2.9248125
0.5849625 × 6 = 3.509775
0.5849625 × 7 = 4.0947375
0.5849625 × 8 = 4.6797
0.5849625 × 9 = 5.2646625
0.5849625 × 10 = 5.849625
0.5849625 × 11 = 6.4345875
0.5849625 × 12 = 7.01955  ←注目!!!
0.5849625 × 13 = 7.6045125
0.5849625 × 14 = 8.189475
0.5849625 × 15 = 8.7744375
・・・・・

というわけで、
3倍音、6倍音、12倍音・・・に近い音を表すには、
1オクターブを12倍に引き伸ばせば、
つまり、逆に言えば、1オクターブを12分割すれば、
ドの音から(半音で)7つ上がったところの音が、ちょうど3倍音ぐらいの周波数になるということがわかりました。

ドの音から(半音で)7つ上がったところの音というのは、「ソ」です。


というわけで第三段階ですが、
ドに対してソがハモるということは、
ドミソに対して7半音ずれたソシレがハモる、ということでもあります。
逆に、ドミソがハモるのは、7半音下のファラドである、ということでもあります。
ドミソ、ソシレ、ファラド の3和音に入っている音を全部書き出すと、
ドレミファソラシドになります。
かくして、ピアノの白鍵はドレミファソラシドになりました。


余談ですが、
次に考えるべきは、5倍音、10倍音、20倍音・・・です。
これは、「ミ」と「ミ♭」の間の音です。
ド・ミ・ソ(メジャー)も、ド・ミ♭・ソ(マイナー)もハモって聞こえるのは、そのためではないかと推測します。

トランペットなどの金管楽器では、指でピストンを押さえることなく、
進軍ラッパの要領で唇の調整だけで色々な音が出せますが、
それらの音は下から順に、ド、ド、ほぼソ、ド、ミとミ♭の間の音、ほぼソ、ほぼシ♭、ド・・・となります。
すなわち、
ぴったり1倍音(ド)、ぴったり2倍音(ド)、ぴったり3倍音(ほぼソ)、
ぴったり4倍音(ド)、ぴったり5倍音(ミとミ♭の間)、ぴったり6倍音(ほぼソ)、
ぴったり7倍音(ほぼシ♭)、ぴったり8倍音(ド)、・・・
です。


最後に、

>>>音楽は基本的にはドレミファソラシのどれかで構成されています。

それは、あまり正しくありません。
一例を挙げますと、能の笛のメロディーは十二音律では書けません。
アフリカ(?)辺りでも、十二音律に従わない音楽があります。
坂本龍一はそういうのが結構好きらしいです。
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この回答へのお礼

 こんにちは。
 夜分遅くの回答、誠にありがとうございます。あなたの回答には感動しました。その様な決め方をしていたのですか。びっくりしました。人間は2の整倍音を「同じ音に聞こえる」というのにはびっくりしました。確かに、1オクターブ下げた音も同じように聞こえます。また、歌う際にも1オクターブ上げても不自然には感じません。人間は不思議です。2倍音、3倍音、5倍音と考えて行くのには驚きました。でも、よく考えてみると「2」や「3」や「5」は全て「素数」ですね。と、言うことは「素数」を基礎にして現代音楽が構成されていると解釈しても良いのかもしれません。と、なると「7」倍音や「11」倍音はどうなるか興味が沸いてきます。
 ちなみに……「log●○」というのは「●を何乗すると○になるか」を示しています。●の部分の数を「底」と言います。●は小さな数で書きます。○と区別がつかなくなるので。ちなみに●にはしばしば「e」が使われます。何故かはよく分かりませんが。その点は私の勉強不足です。
 とても参考になりました。

お礼日時:2010/02/05 10:55

音の高さの決まり(音律)には、さまざまな種類があります。

おおざっぱに言えば、オクターブを12等分した周波数の付近であれば、「ドレミファソラシド」および臨時記号を付けた音に聞こえます。#1の方が示されているピタゴラス音律もそのなかの一つで、「だいたい」オクターブを12等分した音になります。

一方、数学的に完全に12等分したものは「平均律」といい、ピアノやギターで使用されています。これは、ある音に「12乗根2」(約1.0595)を乗じたものが半音上の音になっています。

現在、国際的にA=440と決められていますが、べつに441や442、あるいは440.001とかでも、それを基準に他の音も移動すればちゃんと音階になります。
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この回答へのお礼

 こんにちは。
 「ピタゴラス音律」や「ピタゴラス音律」や「平均律」については成る程と分かりました。
 補足ですが、12乗根2というのは12乗して2になる数ですね。高校数学で学びました。
 音階は実はある意味では曖昧だと分かりました。
 とても参考になりました。

お礼日時:2010/02/05 10:25

「ドの周波数を2倍すると、1オクターブ上のドになります。

」っていう話はご存知ですかね。それと同じように、

・ドの周波数を1.5倍すると、ソになります。
・ソの周波数を1.5倍すると、上のレになります。
・レの周波数を1.5倍すると、ラになります。
・ラの周波数を1.5倍すると、上のミになります。
・ミの周波数を1.5倍すると、シになります。
・シの周波数を1.5倍すると、上のファ♯になります。
・ファ♯の周波数を1.5倍すると、上のド♯になります。
・ド♯の周波数を1.5倍すると、ソ♯になります。
・ソ♯の周波数を1.5倍すると、上のレ♯になります。
・レ♯の周波数を1.5倍すると、ラ♯になります。
・ラ♯の周波数を1.5倍すると、上のファになります。
・ファの周波数を1.5倍すると、上のドになります。(ドに戻った)
ってことで、周波数を1.5倍するのを12回繰り返すとドに戻ってくるんです。厳密にはぴったりドになるわけではないんですが、ほぼドに相当する周波数になります。

数学的に言えば、 
(1.5)^12 = 129.746338 ≒ 128 = (2^7)
ってことです。

ちなみに上に書いたようして1オクターブを12個の音に分割するやりかたを、「ピタゴラス音律」といいます。あの三平方の定理(ピタゴラスの定理)のピタゴラスさんですね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%BF% …
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この回答へのお礼

 こんにちは。
 ドの周波数を2倍にするということは「単位:ヘルツ」言い換えれば「音の振動数」を2倍にするということですね。ドの周波数を2倍にすると、再びドと人間が感じることが出来るのは物理や音楽系の本で読みました。
 音の名前は「ドレミファソラシ」だけでなく、「●♯」という名前があるのは知りませんでした。ありがとうございます。
 <(1.5)^12 = 129.746338 ≒ 128 = (2^7)>は「1.5を12回かけると129.746338になる。そしてその数値は2を7回かけた結果の128とほぼ同じ」と解釈しました。
 とても参考になりました。

お礼日時:2010/02/05 10:42

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