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空間図形における対称性について
おはようございます。
空間図形における対称性について以下の点について確認させてください。

(1)面対称について
ある面について対称な位置にある点A、B、C、Dと
点E、F、G、H(AとE、BとF、CとG、DとHが対応)があり、
例えば
○2点A、Bを結んだ線分も、2点E、Fを結んだ線分と面対称
○2点A、Gを結んだ線分も、2点E、Cを結んだ線分と面対称
ということ自体をそのまま(証明なしに)言っても良いのでしょうか?
仮に一言付けるとするならば、点A、B、C、Dと点E、F、G、Hが
それぞれ面対称な位置にあるということで済ませてよいのでしょうか?

(2)回転対称について
例えば正四面体について、ある面を底面として真上から見て120°回転させると
一致する(つまり3回回転対称と言うのでしょうか?)ということは、そもそも
正四面体の性質のひとつとして既知のこととして済ませてよいのでしょうか。


対称に関しては、どこまでが証明を必要とし、どこまでが不要なのかがいまいちはっきり
していないので、こんな質問をして申し訳ございません。
よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

(1)(2)ともに、説明無しでも特に問題はないと思う。



質問者が大学受験で困っているのか、あるいは大学での課題で困っているのかがはっきりしないので、細かいアドバイスをしにくいのだが・・・。
いずれにせよ、証明はなくてもよいだろう。
(例えば(2)は、大学で3次元空間内での回転を表現する行列を勉強したのなら、きちんと示すこともできるだろうが、面倒だし、詳説を要求されない限りは自明として良いことだと思う。)
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この回答へのお礼

Ginzangさん

ご回答頂きありがとございました。

お礼日時:2010/04/06 12:53

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Q正四面体の内接球の中心について

正四面体の内接球の中心について

いつも大変お世話になっております。
正四面体に内接する球の中心が、その正四面体の1頂点から下ろした垂線上
に存在することがよくわかっておりません。
参考書やネットで確認してみると、
(1)正四面体の中心から各面に垂線を下ろすと、その長さは等しい
(2)対称性から
などとあるのですが、
(1)については、確かにその中心に着目できれば、そうだったとなるのでしょうが、
その中心からスタートするのではない(うまく表現できなくてごめんなさい)方法が
あるのでしょうか?
(2)については、対称性(この対称性については、私の弱いところなので申し訳ございませんが)について、もう少し具体的に説明いただけないでしょうか?

お忙しいとは思いますが、アドバイス頂けると助かります。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ちょっともやもやしたものを感じます。

平面の場合で考えてみます。
三角形に内接する円を考えます。
円の中心から各辺に下ろした垂線の長さが等しくなっています。
これが円が「内接している」ということを表しています。
「三角形の内部に円がある」ということと「内部にある円が各辺に接している」ということの違いはこの条件でしか表すことができません。
ここから頂点と中心を結ぶ線は頂角を2等分するという性質が導かれます。
正三角形の場合であれば「角の2等分線を延長すれば対辺と直交する」というのがどの角についても成り立ちます。
「内接する円の中心は頂点から下ろした垂線上にある」と言うことができます。
「正3角形では角の2等分線を延長すると対辺と直交する」というのを証明するときに対称性を使うことも可能です。
でも初めの「円の中心と各辺との距離は等しい(=中心から各辺に下ろした垂線の長さは等しい)」という条件をはずして対称性の議論だけで内接円を決めることはできません。

あなたの質問に戻ります。
(1)は内接円の定義です。
その前提で
>正四面体に内接する球の中心が、その正四面体の1頂点から下ろした垂線上に存在する
ことを導くのです。
その時に幾何的に証明する方法の一つとして対称性を利用したものがあるということのはずです。
(1)をはずして対称性からだけでは証明できないことだと思います。

#3
>全く同じ状態の正四面体なので、当然内接する球の中心も回転させる前と後では同じでしょう。

内部の球と外部の正4面体が同じ回転軸に対しての対称性を持つはずだという主張です。

共通の対称軸があればもとに戻ります。持たなければもとには戻りません。ただそれだけです。戻らなくても何の矛盾もありません。

垂線が共通の回転対称軸になっていることを証明したいのです。証明したい結果を使っていることになります。
球と正4面体の相対的な位置関係についての議論がなければ決まりません。その時には(1)を使います。

ちょっともやもやしたものを感じます。

平面の場合で考えてみます。
三角形に内接する円を考えます。
円の中心から各辺に下ろした垂線の長さが等しくなっています。
これが円が「内接している」ということを表しています。
「三角形の内部に円がある」ということと「内部にある円が各辺に接している」ということの違いはこの条件でしか表すことができません。
ここから頂点と中心を結ぶ線は頂角を2等分するという性質が導かれます。
正三角形の場合であれば「角の2等分線を延長すれば対辺と直交する」...続きを読む


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