バネはどれだけ伸びるでしょうか(フックの法則)。
添付の図を見て頂けますでしょうか。
図のように滑車を通して錘をつりさげ、バネの伸びを求めたいと思っております。
半径2rの円盤に関しては慣性モーメントIを指定してきています。
もし慣性モーメントを考慮せずに解くということになれば、当然バネの伸びは、
バネ定数をkとして、2mg/kですよね(錘の質量はmですが、力が滑車によって倍増
されるため)。
慣性モーメントを考慮した場合の今回の問題ですが、私は以下のように考えました。
おかしいところがないか指摘して頂けませんか。
糸の張力をTとすると、m(d^2x/dt^2)=mg-Tが成り立ち、回転の運動方程式は、
T×2r=Iω(ただし角速度をωとしました。)となります。ここでdx/dt=rωなので、
これらの式より、d^2x/dt^2=4mgr^2/(4mr^2+I)と出ました。
よってd^2x/dt^2にmを掛けて、滑車によって力が倍増されることも考慮して2倍
すると、2m*(d^2x/dt^2)となり、これが実質の質量だと思ったので、これをフッ
クの法則の式に代入して、バネの伸びは、2m*(d^2x/dt^2)をkで割ったもの、即ち
(2m/k)*{4mgr^2/(4mr^2+I)}と答えを出しました。
問題分には重力加速度gが用意されていなかったのですが、これは誤りでしょうか。
独学でやっているため、また模範回答も無く、質問した次第です。
よろしくお願い致します。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ばねの伸びを求めるのに,輪軸(滑車)の慣性モーメントは関係ありません。
つりあいの位置なら,2mg/k。
自然長からおもりを放して,伸びの最大長を求めるというような問題であれば,単振動の振幅が2mg/kなので,最大伸びは4mg/kです。
おもりの運動方程式はばねの伸びをxとするなら,おもりの変位を2xとしなければなりません。回転の運動方程式にばねの弾性力によるモーメント(トルク)が抜けています。また,運動方程式ですから角速度ではなく角加速度。
2m(d^2x/dt^2)=mg-T
I・dω/dt = T×2r - kx×r
となると思います。運動方程式の加速度をゼロとして力のつりあい,回転の運動方程式の角加速度をゼロとして力のモーメントのつりあいを得ます。左辺をゼロとした両式からx=2mg/k。したがって,つりあいに対して慣性モーメントは何の影響もありません。
上の2式をx=rωによってまとめると,単振動の運動方程式
(I/r^2 + 4m)(d^2x/dt^2) = -k(x-x0), x0 = 2mg/k
を得ます。慣性モーメントは,振動の周期を長くするはたらきを持ちます。
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