![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?5a7ff87)
螺旋曲面の面積について
高3です。
質問は以下の螺旋曲面の問題についてです。
定円の半径がr、高さが1の直円柱Tのひとつの母線の両端点をA,Bとする。AとBを結び、T上を一周する曲線の中で、長さがもっとも短いものをCとする。
点PがC上を動くとき、PからTの中心軸におろした垂線PQが通過して出来る曲面をRとする。
このときRの面積Sを求めよ。
P、QをP(rcosθ、rsinθ、θ/2Π)、Q(0、0、θ/2Π)としてR上の点RをP,Qをt:1-tに分ける点としてベクトルr=(rtcosθ、rtsinθ、θ/2Π)とおいて、外積dr/dt×dr/dθを微小面積として0≦θ≦2Π、0≦t≦1で積分すると答えは{rSQRT(4Π?r?+1)}/2+{log(2Πr+SQRT(4Π?r?+1)}/4Πになりました。(すみません根号の打ち方がわからなかったのでSQRT()で代用しています.)
質問したいのは次の点です。
・この答えであっているか
・他に解法はないか
読みにくいですがお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
いまどきの高校はこんなのやるんですか。
> dr/dt×dr/dθ
これですと(もし書くなら偏微分で)、z座標の変化が加味されていないしスカラーでもないので、別物になってしまうようです。
P(θ)とQ(θ)との距離をρ、
P(θ+?θ)とQ(θ+?θ)とを結ぶ線分上の点でQ(θ+?θ)からの距離がρになるものをP'、
P(θ)とP'との距離をlとすると、
l^2=(2ρ(sin(?θ/2)))^2+(z(θ+?θ)-z(θ))^2
となり、lに?ρをかけたものが小さい長方形の面積と考えられます。
それをρとθについて足し合わせて極限をとると、
S=∫∫ρ((1+4z'(θ)^2)^(1/2))dρdθ(積分範囲:0≦ρ≦r,0≦θ≦2π)
と表せました。
z(θ)=θ/(2π)と置いてこれを計算すると、(r^2)(π^2+1)^(1/2)になりました。
正しいかどうか保証しないので、自分で確かめてみてください。
なお、z(θ)=θ/(2π)は自明ではありません。証明しようとすると変分問題になってしまいますが、高校だったら、展開図を考えて直線が最短コースだという程度の説明でいいと思います。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 微分積分の図形についての問題がわからないです。 2 2022/07/14 14:05
- 数学 微分積分の曲率についての問題がわからないです。 4 2022/07/16 16:23
- 数学 積分の問題について 3 2022/06/02 13:43
- 数学 微分積分の変曲点、接線についての問題がわからないです。 1 2023/01/08 13:41
- 数学 積分の問題について 1 2022/07/07 12:24
- 数学 球面と接する直線の軌跡が表す領域 4 2023/07/30 12:37
- 薬学 薬学部 3 2022/12/19 00:02
- 数学 積分の問題について 2 2022/07/09 14:33
- 薬学 薬学部 2 2022/12/17 16:33
- 数学 平面で螺旋の軌跡を表す数式 7 2022/12/11 16:52
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
面積を表す文字になぜSをつかう...
-
イコール(=)と合同(≡)
-
2つの重なった円の面積
-
顕微鏡について、 対物レンズの...
-
面積1平方キロメートルの場所
-
ヒステリシスループの面積の計...
-
三角形の中に接する半径の等し...
-
五角形のABCDEの面積をエクセル...
-
「横倒しにした円柱容器に入っ...
-
円を直線で切り取った部分の面...
-
正方形と内接する2つの4分の1円...
-
重なっている二つの円の重複部...
-
なぜ積分で、上の式から下の式...
-
2つの円が重なってできた図形の...
-
面積1の正n角形(n>=3)の周の長...
-
扇形の面積は1/2•r²θで求められ...
-
x^(2/3) + y^(2/3) = 1で囲まれ...
-
重なり合う二つの円の面積
-
正方形の面積が奇数のときの一...
-
n角形の重心を求めるアルゴリズム
おすすめ情報