角度の問題です。合同な正方形を３つ横につないで長方形ABCDをかきます

角度の問題です。合同な正方形を３つ横につないで長方形ABCDをかきます。線BC間の３等分点をE,FとしDからB,E,Fへ直線をひきます。角DBC,角DEC,角DFCの和は何度になりますか。
絵を添付しましたが、正確にはかけていません。すみません。

No.4 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2010/07/07 11:30

添付図で、

?BADと?EGDとは、両方とも直角三角形で、直角を成す角が１：３になっているので相似です。
よって、
∠ADB＝∠GDE

∠DBC＋∠DEC＋∠DFC
＝∠ADB＋∠ADE＋∠CDF
＝∠GDE＋∠ADE＋∠CDF
＝∠ADC＝90°

この回答へのお礼

やっとわかりました。∠ADB＝∠GDEにして、絵をかいたらわかりました。ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/07 12:20

No.8 回答者： whma-hit55 回答日時： 2010/07/07 14:27

＞三角形GBDは直角二等辺三角形になるのが、理由がわかりません。

合同な正方形を2つつないだ長方形の対角線による三角形は合同であることから、図の赤い孤で示した角度がすべて等しいことはご理解できると思います。同様に青い孤で示した角度もすべて等しいです。赤い孤で示した角度と青い孤で示した角度を足したものが直角になることも自明となると思います。

この回答へのお礼

やっとわかりました。うれしいです。わかるまで、おつきあいいただき感謝します。ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/07 14:44

No.7 回答者： whma-hit55 回答日時： 2010/07/07 13:12

>角DEC=角GBCになるのから、わからなくなりました。

線分DEと線分GBは、合同な正方形を2つつないだ長方形の対角線です。（線分GDもそうです。）よって三角形DECと三角形GBFは合同です。よって角DEC=角GBCになります。これでお分かりになりませんか。

この回答へのお礼

本当にていねいにありがとうございます。でも、三角形GBDは直角二等辺三角形になるのが、理由がわかりません。

お礼日時：2010/07/07 13:57

No.6 回答者： whma-hit55 回答日時： 2010/07/07 12:06

昔からある中学生レベルの問題です。

補助線のひき方がポイントです。添付図のように補助線を書きます。
角DEC=角GBCなので
角DBC+角DEC＝角GBDとなります。
三角形GBDは直角二等辺三角形です。
∵線分の長さGB=GD、角BGDは直角
よって角DBC+角DEC＝角GBD＝45度
角DFC=45度
よって角DBC+角DEC＋角DFC＝90度　直角になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。すみません。角DEC=角GBCになるのから、わからなくなりました。

お礼日時：2010/07/07 12:35

No.5 回答者： nag0720 回答日時： 2010/07/07 11:33

＃４です。

最初の文が間違っていました。


?BADと?EGDとは、両方とも直角三角形で、直角を成す角が１：３になっているので相似です。
↓
三角形BADと三角形EGDとは、両方とも直角三角形で、直角を成す辺が１：３になっているので相似です。

この回答へのお礼

ていねいに訂正ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/07 12:41

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/07/07 11:20

平行線に対する錯角を使って

・∠DFC = ∠CDF
・∠DEC = ∠ADE
は簡単. 残りの ∠DBC については「F を通る DF の垂線と DE の交点」を G とおくと
△BCD ∽ △DFG
になることから ∠DBC = ∠GFD = ∠EDF.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。すみません。「F を通る DF の垂線と DE の交点」を G とおくとが、わかりません。

お礼日時：2010/07/07 12:03

No.2 回答者： grumpy_the_dwarf 回答日時： 2010/07/07 10:51

tanθが1/3、1/2、1であるθの和ですね。

tanθが1になるのは45度
ですからこれは最後に足すことにして、tanθが1/3になる角度と1/2
になる角度を足したもののtanを、三角関数の加法定理で求めます。
tan(a+b) = (tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))なので、
tan(a+b) = (5/6)/(1-1/6)=1
おっと、tan(a+b)が1になりました。あとは簡単ですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
tanθが1/3、1/2、1であるθの和、を知りません。中一程度の能力でわかる、簡単な図形の性質などを使っておしえていただけないでしょうか。

お礼日時：2010/07/07 11:05

No.1 回答者： ziziwa1130 回答日時： 2010/07/07 10:50

∠DBC=α、∠DEC=β、∠DFC=γとすると、

tan α=1/3
tan β=1/2
tan γ=1
となることは分かりますよね。
求める角はα+β+γですから、tan (α+β+γ)を加法定理で計算すれば出ますよ。
あと、
tan θ=sin θ/cos θ
はお分かりですよね？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
tan θ=sin θ/cos θなどわかりません。中一程度の能力でわかる、簡単な図形の性質などを使っておしえていただけないでしょうか。

お礼日時：2010/07/07 11:04