二重積分の問題で(1)I=∬(x^2+y^2)dxdy D={(x,y

二重積分の問題で(1)I=∬(x^2+y^2)dxdy D={(x,y):|x|+|y|≦1} (2)∬(xy-y)dxdy D={(x,y):x^2+y^2≦2x+2y-1} という問題が分かりません。教えてください。お願いします。

No.1 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/07/08 09:52

何が分からないのかを書いていただかないと、

適切なアドバイスをするのは難しいです。

とりあえず思うままに書いてみます。
分からないところがあればお礼欄や補足欄に書いて教えて下さい。

[1] Dが表す領域が分からない
(1)|x|+|y|≦1のような絶対値記号付きの式に関しては、
絶対値記号の中身の正負で場合分けします。
そして絶対値記号を外して下さい
(詳しくは高校数学の数1の教科書・参考書を確認してください)。

たとえば0 ≦ x, 0 ≦ yなら
|x| + |y| ≦ 1
↓
x + y ≦ 1
∴ y ≦ -x + 1

0 ≦ x, y < 0なら
|x| + |y| ≦ 1
↓
x - y ≦ 1
∴ y ≧ x - 1

のような感じになります。
(1)の領域の場合、これ以外にあと2種類くらい場合分けが必要です。

(2)に関しては不等式x^2 + y^2 ≦ 2x + 2y - 1の全部の項を左辺に移して
x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 ≦ 0とします。
これは円の式の形に似ています。
なのでまずは領域が円なのかどうかを考えてみてはどうでしょうか
(詳しくは高校数学の数2の教科書・参考書を確認してください)。

[2] 不定積分の仕方が分からない
xで不定積分する時はyは定数扱いにし、
yで不定積分する時はxを定数扱いにして積分します。
x^3 + xyをxで不定積分すると(1/4)x^4 + (1/2)(x^2)y + Cとなります。

[3] 不定積分は出るけど、定積分値の求め方が分からない
1変数関数y = f(x)の定積分は、曲線y = f(x)が作る平面の面積を表しますよね。
2変数関数z = f(x, y)の二重積分は、曲面z = f(x, y)が作る立体の体積を表します。
なので今回の場合、どうやって立体を作り上げていけばよいかを考えれば良いです。

便宜上、x軸正の向きを右側、負の向きを左側とし、
y軸正の向きを上側、負の向きを下側と呼びます。

(A)まずx, yどちらか一方で積分し、立体の切断面の面積を求めます。
(A-i)xで積分する場合
z = f(x, y)をxz平面に並行な面で切断した時の切断面の面積を求めます。
切断面の面積はy座標によって異なるので、この面積はyの式で表わされます。
図を描くと分かると思いますが、積分範囲は領域の左端から右端までです。
領域の左端と右端のx座標をyを使って表し(領域の境界線の式を利用して下さい)、
実際に定積分してください。
(A-ii)yで積分する場合
z = f(x, y)をyz平面に平行な面で切断した時の切断面の面積を求めます。
こちらも同様に、切断面の面積はx座標によって異なります。
なので面積はxの式で表わされます。
積分範囲は領域の下端から上端までとなります。
下端と上端のy座標をxを用いて表し、実際に定積分します。

(B) 片方の文字での定積分が終わったら、もう片方の文字での定積分を行います。
先ほど考えた薄い切断面を重ねていって、立体を作り上げるようなイメージです。
(B-i)最初にxで積分していた場合
「xz平面に平行な切断面」を下端から上端まで重ねていって立体を作ります。
なので切断面の式をyで定積分すればよいわけです(積分範囲は下端から上端)。
今回は下端と上端のy座標は普通の数で出てくるはずです。
(B-ii)最初にyで積分していた場合
同様に「yz平面に平行な切断面」を左端から右端まで重ねて立体を作り上げます。
つまり切断面の式をxで定積分することになります(積分範囲は左端から右端)。
こちらも左端と右端のx座標は普通の数で出てきます。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/07/08 12:59

(1)

対称性から第一象限の範囲の積分を4倍すればよいので
I=4∫[0,1] {∫[0,1-x](x^2+y^2)dy}dx
と書けます。

I=4∫[0,1] [yx^2+y^3/3][y:0,1-x]dx
=4∫[0,1] [(1-x)x^2+(1-x)^3/3]dx
=4 [x^3/3-x^4/4-(1-x)^4/12] [0,1]
=4 {(1/3)-(1/4)+(1/12)}=2/3

(2)
I=∬[D](xy-y)dxdy
D={(x,y):x^2+y^2≦2x+2y-1}={(x,y):(x-1)^2+(y-1)^2≦1}
X=x-1,Y=y-1で置換積分
I=∬[D1] X(Y+1)dXdY
D1={(X,Y):X^2+Y^2≦1}
X=r*cos(t),Y=r*sin(t)で置換積分
I=2∫[0,π] {∫[0,1]r*cos(t){r*sin(t)+1}rdr}dt

後はやってみてください。