前に質問したのですが、問題に不備＆聞きたいことがずれたので、再び質問し

前に質問したのですが、問題に不備＆聞きたいことがずれたので、再び質問します。

単位ベクトルeを（a,b,c）と置くと

ＡＢベクトル（－１、０、-４）
ＣＤベクトル（３、－３、－１２）

上記両方のベクトルと直交するような単位ベクトルeを求めよ。

ＡＢベクトル×e=-a-4c=0⇔a=-4c
ＣＤベクトル×e=a-b-4c=0⇔b=-8c

これらをa^2+b^2+c^2=1に代入して、16c^2+64c^2+c^2=1より、

c＝±１/９
a＝マイナスプラス４/９
b＝マイナスプラス８/９

（４/９、８/９、－１/９）（-４/９、-８/９、１/９）となります
これはわかるのですが、仮に
---------------------
単位ベクトルeを（a、b、±√（１－a^2-b^2））と置いて、同様に計算します。

ＡＢベクトル（－１、０、-４）
ＣＤベクトル（３、－３、－１２）

-a±4√（１－a^2-b^2）=0⇔a^2=16（１－a^2-b^2)⇔１７a^2+１６b^2=１６（Ａ）
a-b±4√（１－a^2-b^2）=0⇔a-b=4√（１－a^2-b^2）⇔１７a^2+１７b^2-２ab=１６（Ｂ）

より、ＡとＢよりｂ＝０又は、b＝2a

ｂ＝０のときは、a=±４/√１７より、
（±４/√１７、０、±１/√１７）（複号任意）

b=2aのときは、17a^2+64a^2=16 a=±４/９、ｂ＝±８/９、c=±１/9
（±４/９、±８/９、１/９）（複号同順）
（±４/９、±８/９、-１/９）（複号同順）

なんで、上と下で、このように答えが違うのですか？おそらく上のほうが正しいと思います。下のほうは、おそらくどこかで同値性を無視したのが原因だと思うのですが、よくわかりません

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/08 19:18

式 A を導く過程で

-a = ±4√(1 - a↑2 - b↑2)
という式を経由する。
± が付いているから両辺を２乗してよい気が
するのは、単なる気のせい。
右辺の ± は、c = ±4√(1 - a↑2 - b↑2) の
± と復号同順で、
左辺の a の符号も、これによって決まる。
すなわち、-a と c が同符号でなくてはならない
が、両辺を２乗すると、この条件が失われる。

式 B の導出も、同様。

この２条件によって不適解を除くと、
２つの解法は、一致する。

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/08/08 20:00

こんばんわ。

計算については、#1さんが丁寧に説明されているので、違った角度から。

＞単位ベクトルeを（a、b、±√（１－a^2-b^2））と置いて、
見やすいように、z成分を ±cと書いてみると
(a, b, ±c)　すなわち、(a, b, c)と (a, b, -c)

の 2とおりのベクトルを解にしようとしていることになります。

ところが、実際に答えとなる（与えられた 2つのベクトルに対して直交するベクトル）は「1とおりしかありません。」
・「1とおり」というのは、もうひとつの答えになるのは単に -1倍（逆方向）になっているだけということです。
・これは図形的にみれば、与えられた 2つのベクトルによってできる平面に対して、垂直になっている（平面の法線ベクトル）を求めているわけですから、「1とおり」しかない。とも言えます。


先の (a, b, c)に対して言えば、答えとなるもうひとつのベクトルは (-a, -b, -c)とならなければならない。ということになります。
ですので、(a, b, -c)と置くのは間違いになってしまうということです。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/08 20:34

ちょっと、ザックリし過ぎ。

(a, b, -c) と置けば、同じ解が逆符号の c で
求まるだけ。

それに、(0, 0, ±1) への配慮も必要。

No.4 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/08/08 21:02

#2です。

あまりごちゃごちゃすると、混乱するかもしれませんが。＾＾；

(a, b, c)というあるベクトルに対して、(a, b, -c)は一般には「逆方向」とはなりませんね。
という意味です。

ある (a, b, c)というベクトルが答えであれば、
もう一つの答えは (-1)* (a, b, c)＝ (-a, -b, -c)になるという意味で書いていました。
ですので、(a, b, c)か(a, b, -c)の「どちらかであると置かなければならない」ということです。
質問では、この 2つをどちらとも答えとして置いてしまっているので、その分（2つ）が余計に出てきてしまいます。


(0, 0, ±1)については、(-1)* (0, 0, 1)とすれば同じことですよね。＾＾

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/08 21:24

No.2 は、十分明確に書いてあり、

最初から、誤解の余地は無い。
No.3 のようにスカしてみた(恐縮)のは、
その点が、質問の第二解法の勘違いの要所
かと思えたからだ。

解を (a,b,±c) と置いた後で、
そのどちらかが解となるような a,b,c を
求めようとしたのか、
その両方が解となるような a,b,c を
求めようとしたのかを
見失ってしまったろう…ということ。