No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちわ。
√3-1= αとおいた方が、逆にわかりやすくなると思います。
いま、欲しい(答えを得たい)値は、f(√3-1)= f(α)です。
そして、
・f(α)= α^4+ 2α^3- 5α^2- 2α+ 5であり、
・αは、(αの 2次式)= 0という関係を満たしている。
となります。
(αの 2次式)= 0より α^2=・・・の形に変形すれば、
「α^2という値(=(√3-1)^2)は、αの 1次式(上式の左辺)の値に等しい」
ということですから、代入すなわち次数下げをしてもいいことになります。
「x」だと「変数」という意味合いが強いので、
√3-1という「定数」であることを明示的にするためにもαと表した方がわかりよいと思います。
No.4
- 回答日時:
>また、何故xではなくαと置いているんでしょうか??
xは一般を意味し、αは特殊(=√3-1)を表すから、と言うのが建前の話。
2次方程式での共通解を求める問題で、共通解をαとして進めた事がないか? それと同じ事。
>√3ー1をxと置いて、xの満たす2次の等式を利用して次数下げしてもいいんですか??
従って、α=√3-1 とすれば、α^2+2α-2=0だから f(α)=α^4+2α^3-5α^2-2α+5=(α^2+2α-2)*(α^2-3)+4α-1=4α-1 となる。
α^2+2α-2=0 で割れないだろう、と疑問に思うだろうが、0であろうと、1であろうと、これは恒等的に成立する式に過ぎない。
たまたま、α^2+2α-2が0であっただけ。
No.3
- 回答日時:
No.1 No.2 と、同じといえば同じなんですが…
x=(√3)-1 でも、α=(√3)-1 でも、
解法は同一で、数学的内容は何ら変わりません。
x だと変数っぽい気がする、
α だと定数っぽい気がする…というのは、
単なる習慣の問題で、意味はありません。
ただ、そういう印象に惑わされ易い人は、
答案作成上の処世術として、α で書いておく
ほうが無難ではあるでしょう。
No.2
- 回答日時:
本質的には #1 と同じですが, x を使うのであれば「恒等式であるべき」とはいえるでしょう. つまり,
f(x) = (何らかの計算) = ax+b
のように書いてしまうと恒等式でないのでダメ. 一方 α なんかでおいてやったりすると「定数を代入して計算している」という雰囲気が出るので, 同じように見えても
f(α) = (何らかの計算) = aα+b
は OK.
逆に言えば, 「恒等式」として処理するなら x を使ってもまったく問題ありません. つまり
g(√3-1) = 0
であるような x の (2次) 式 g(x) に対し
f(x) = (x の (2次) 式)×g(x) + ax+b
としてから x = √3-1 を代入する (で g(√3-1) = 0 を使う) のは OK.
やることは同じですけどね.
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