40歳前後の方へ「2+√3の共役な数は2-√3」という文に記憶はありま

40歳前後の方へ「2+√3の共役な数は2-√3」という文に記憶はありませんか?

当時の教科書が残っていないので確認をしたいのですが
「1/(2+√3)の分母の有理化をするときは、
2+√3の共役な数である2-√3を分母・分子に掛ける」
と教わった記憶があります(もちろん数字が違う可能性は大いにあります)。

この「共役な数」の定義がよくわからず↓の質問をしたのですが
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6200877.html
最近の参考書を見てみると
「1/(2+√3)の分母の有理化をするときは、2-√3を分母・分子に掛ける」
という感じで「共役な数」という言葉は見つかりませんでした。

当時の教科書を持っている方(科目名が「基礎解析」「代数・幾何」だった世代です)
私の記憶が正しいのかどうか教えていただけないでしょうか。

なお、「共役な複素数」とは意味が違います。

No.5 ベストアンサー 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/09/23 23:00

>高校数学で教わった用語でお答えいただくとありがたいです。

ほとんど同じです。

係数が整数の二次方程式、
　　ax^2 + bx + c = 0
の二つの無理数解は、互いに「共役」な無理数。

こんな定義もあるらしい。
　二つの無理数 i, i~ が、和も積も有理数なら、{i, i~} は互いに「共役」な無理数。
　　　

この回答への補足

ありがとうございます。

仰る定義なら2+√3に共役な無理数は-2+√3等にはならず2-√3だけになりますね。
√3+√2に共役な無理数は相変わらず定義できないですが…。
差し支えなければ、どんな方が使われている定義か教えていただけると嬉しいです。

以前の質問で178-tall様から零点について教わったのを忘れていました。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6141935.html
失礼いたしました。

補足日時：2010/09/24 16:29

No.7 回答者： Ishiwara 回答日時： 2010/09/24 13:48

40歳よりはるかに上です。

「共役な複素数」の意味で「共役な数」ということはありましたが、「共役な複素数」を除いた「共役な数」という概念は知りません。最も一般化された「数」は「複素数」ですから、前者の使い方は間違っていないと思います。
ただし、対象が「数」でなければ「共役（conjugate）」という概念は数学でほかに使っています。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

私の「共役な数」についての記憶は1年生の数学Iの時であり
2年生で複素数について学ぶ前の学年です。
前の質問(URLは質問文に)をお読みいただけばご理解いただけると思いますが
いくつかの参考書やサイトには、共役な複素数の意味ではない
「共役な数」の概念が登場しています(「共役な無理数」とも呼ぶようです)。

Wikipediaで「共役」を調べましても
私の教わった「共役な数」は載っておらず
現行の指導要領に準拠した参考書を見ましても載っていません。
回答者様のように一般的に「共役な数」と言えば
共役な複素数を指すと考えられる方が多いことを
前の質問の際に嫌というほど思い知ったのですが
では何故その知識が自分にあるのか、
教科書に載っていたという記憶は確かなのかが疑問になり
今回の質問に至ったというわけです。

補足日時：2010/09/24 16:10

No.6 回答者： noname#157574 回答日時： 2010/09/24 07:13

高等学校 新数学B（第一学習社，平成6年2月15日文部省検定済）p.49より。

　一般に，複素数 α＝a＋bi に対して，a－bi を共役な複素数といい，αバー で表す。互いに共役な複素数の和と積はともに実数である。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

質問文の最後の行をお読みいただけると幸いです。

補足日時：2010/09/24 12:37

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/23 22:02

前回、用語を挙げっぱなしにして、詳しく説明しなかったので、

この機会に、「共役」の定義について書いてみます。

体 K の拡大体 L があるとして、L の元 x の「K 上共役な元」とは…
(体とか拡大体とか意味不明であれば、集合 L の上に加減乗除が定義
されており、L の部分集合 K が、それらの演算について閉じていること
だと思ってもらえば、とりあえずは ok です。)

K の元を係数とする多項式で、x を根に持つものの内、次数が最小のもの
のことを、「x の(K 上の)最小(消去)多項式」と言います。
L の任意の元について、その(K 上)最小多項式は、定数倍を同一視すれば
ただひとつに決まります。

K 上最小多項式が x と共通であるような L の元のことを、
「x の K 上共役な元」と言います。
x 自身が x と共役です。また、x の共役元で x 以外のものは、
存在しない場合もあるし、2 個以上存在する場合もあります。

K = 有理数全体の集合,
L = { a + b√c | a,b は有理数 },
ただし、c は有理数で √c は無理数　…の場合に当てはめてみると、
a + b√c と 有理数上共役な L の元は、a - b√c となります。
x = a + b√c の(有理数上)最小多項式は、(x - a)^2 - (b^2)c です。

有理数全体の集合を Q と書くことが多く、上記の L は Q(√c) と書いて
「Q の二次拡大」と呼びます。「二次」とは、√c の Q 上最小多項式が
二次式(x^2 - c)であることを表しています。

前回、質問氏が参照した http://books.google.co.jp/books?id=ZLaFLcUABGsC& …
文中の「共役な無理数」とは、この、Q(√c) の元どうしで Q 上共役なもの
のことを指していると思われます。

今回質問の例で言えば、
Q(√3) の元 2 + √3 の、Q 上共役な元は、2 - √3 です。
それを、端折って「共役な数である 2 - √3」と言っているのでしょう。
ひとつの数に共役な数と言っても、何上共役のことかによって
変わってきますから、少々省略し過ぎですが。

何上共役かによって変わる実例として、
前回質問の √2 - √3 に対して、
Q 上共役な数は、 √2 + √3, - √2 + √3, - √2 - √3 の 3 個。
　　それらの最小多項式は、(x^2 - 5)^2 - 24。
Q(√2) 上共役な数は、 √2 + √3 の 1 個。
　　それらの最小多項式は、(x - √2)^2 - 3。
Q(√3) 上共役な数は、 - √2 - √3 の 1 個。
　　それらの最小多項式は、(x + √3)^2 - 2。
R 上共役な数は、 √2 - √3 自身だけ。
　　その最小多項式は、x - √2 + √3 です。

実数上共役な複素数のことを単に「共役な複素数」と呼んでしまうように、
有理数上共役な二次無理数のことを「共役な無理数」と呼ぶ慣行がある
のかもしれません。寡聞にして、私は知りませんが。

いづれにせよ、分母の有理化を説明するだけのために導入するには、
やや大袈裟な用語ですから、最近の教科書は使わずに済ませている
のでしょう。

No.3 回答者： Executione 回答日時： 2010/09/23 21:28

無理数のときに「共役」と言ったかどうかの記憶はないのですが、はっきりと覚えていることは、「共役」と言う言葉を初めて知ったのは、複素数のときです。

記憶の根拠は、「共役」と言う言葉にとても違和感を感じて、「共」はまだ分かるのですが、「役」と言う言葉の意味が分からず、この「共役」と言う言葉がどうしても好きになれなかったため印象に残っています。では、なぜそれが無理数のときでないかと断定できるかと言いますと、共役奈複素数のときは、「*」を付ける、と言うことが書いてあり、このルールがまた、不思議で仕方がなかったからです。
私の場合は、むしろ逆で、「共役な複素数」をかけるときに、「有理化みたいな数をかける」と言っていたので、無理数の有理化のときに「共役な」と言う言葉を使うはずがないのです。
念のため、昭和57年の数Iの参考書を開いてみましたが、無理数のときは書いてなかったです。
恐らく、質問者さんは、私と逆で、微積分などで、複素数を習ったあと、再び無理数が出てきたときに、「共役な」と言う記憶が前後してしまったのではないでしょうか。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

本来は「共軛」ですから、違和感があるのはご尤もなことかも。

数Iの先生の顔が今でも思い出されるので
私にとっての「共役」はやはり数Iでだと思います。
次の共役は化学でした(酸・塩基の共役二重結合)。

正しい用語ではないようですし
当時の学習指導要領を見ても載っていないので
一部の教科書か参考書あるいは先生の知識だけかもしれません。

補足日時：2010/09/23 21:42

この回答へのお礼

補足の訂正です。
「酸・塩基の共役二重結合」は「酸・塩基の共役、共役二重結合」の誤りです。

お礼日時：2010/09/23 21:51

No.2 回答者： banakona 回答日時： 2010/09/23 21:02

＞「2+√3の共役な数は2-√3」という文に記憶はありませんか?

ありません。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
当時の教科書はお持ちでないですか?

補足日時：2010/09/23 21:28

No.1 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/09/23 20:58

>「2+√3の共役な数は2-√3」という文に記憶はありませんか? .....

これは、二次無理数の「共役」。

係数が整数の二次多項式、
　ax^2 + bx + c
の零点 x1, x2 が実数で・両者が異なり・有理数でない場合、
　x1 = r + i
　x2 = r - i
(ただし、r は有理数、i は無理数)
と表せますね。

この {x1, x2} のペアが、互いに「共役」な二次無理数らしいです。
　　

この回答への補足

回答ありがとうございます。
高校数学で教わった用語でお答えいただくとありがたいです。

補足日時：2010/09/23 21:28