放物線の対称性？？

放物線の対称性？？

放物線の対称性を利用すれば、１最高点まで上がる時刻と降りてくる時間は等しいとか、２同じ高さでは同じ速さといったことがわかる。

教えてほしいところ
放物線の対称性ってどういう性質のことを言うんでしょうか？？
また、対称性を利用すると何故、１や２の性質が示せるんですか？？

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2010/09/25 11:40

こんにちは。

「放物線の対称性を利用すれば、１最高点まで上がる時刻と降りてくる時間は等しいとか、２同じ高さでは同じ速さといったことがわかる。」
これは、あんまりよい説明ではありません。
なぜならば、一言欠けているからです。

水平方向の座標（Ｘ座標）をｘ、垂直方向の座標（高さ）をｈ、
速度の水平方向成分（定数）をｖx、速度の垂直方向成分（変数）ｖh
時刻をｔ、重力加速度をｇと置き、
最高点での時刻をゼロとして、そのときの座標を（０，Ｈ）　と決めれば、
（あ）ｖh　＝　－ｇｔ
（い）ｖx　＝　定数
（う）ｈ　＝　Ｈ　－　１／２・ｇ・ｔ^2
（え）ｘ　＝　ｖx・ｔ

ちなみに、「速さ」とは
速さ　＝　速度の絶対値　＝　√（ｖh^2 ＋ ｖx^2）
です。

ここで、
（い）と（う）は、時刻ｔに関して、ｔ＝０の左右で線対称ですが、
（あ）と（え）は、時刻ｔに関して線対称ではありません。

そこで、（あ）と（え）をこのように書き換えてみます。
（あ’）｜ｖh｜　＝　｜ｇ｜・｜ｔ｜
（え’）｜ｘ｜　＝　｜ｖx｜・｜ｔ｜
こうしてみると、｜ｔ｜の部分は、ｔ＝０の左右で線対称になります。
ですから、｜ｖh｜（上り・下りの速さの垂直方向成分の絶対値）もｔ＝０の左右で線対称になります。

つまり、放物線という‘図形’はともかく、放物運動の対称性というのは、ｔ＝０　の左右で絶対値が対称だという意味であって、
それは、過去から未来の方向と、未来から過去の方向という、「時刻に関する対称性」なのです。

No.2 ベストアンサー 回答者： BookerL 回答日時： 2010/09/25 08:02

　投げ上げの運動では、高さは　ｙ＝ｖ0ｔ －　(1/2)ｇｔ^2　のように、時間 ｔ の２次関数ですので、ｙ-ｔグラフを描くと放物線になります。

　この ｙ-ｔグラフで頂点を Ａ とすると、投げてから最高点に達するまでの時間は ０～ｔ1 であり、最高点からしたまで降りてくる時間は ｔ1～ｔ2 であり、ＯＡとＡＢの対称性から、

＞１最高点まで上がる時刻と降りてくる時間は等しい

ことがわかります。

　また、ある高さ ｙ1 のところでの速さは、このグラフの接線の傾きであり、Ｃでの接線とＤでの接線の傾きが、（符号は逆だけど）大きさが同じなので、

＞２同じ高さでは同じ速さ

であることがわかります。

No.1 回答者： sotom 回答日時： 2010/09/25 05:55

自由落下に関しては、空気などの抵抗を除外すれば二次関数です。

したがって、グラフを描けば分かると思いますよ。