実数X、Yが関数式X二乗＋2Y二乗を満たして変化する。

実数X、Yが関数式X二乗＋2Y二乗を満たして変化する。

(1)Xのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)X＋Y二乗の最大値と最小値を求めよ。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/09/28 09:13

x＾2＋2y＾2＝4、とすると　2y＾2＝4-x＾2≧0　から　｜x｜≦2 ‥‥(1)

x＋y＾2＝x＋(1/2)*(4-x＾2)　であるから、2(x＋y＾2)＝-(x-1)＾2＋5　‥‥(2)

よって、(1)の範囲で(2)の最大値と最小値を求める事になる。
(1)は、上に凸のxの2次関数だから、グラフを書くと直ぐわかるが、x＝1で最大値が5/2、x＝-2で最小値が-2.

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/09/27 20:39

(1)

x^2+2y^2=4…(A)
4-x^2=2y^2≧0
x^2-4=(x-2)(x+2)≦0
∴-2≦x≦2　…(B)

(2)
x+y^2=kとおくと
y^2=k-x≧0より　x≦k …(C)
y^2=k-x…(E)を(A)に代入
x^2+2(k-x)=4
x^2-2x+2k-4=0 …(F)
xの実数条件から
判別式D/4=1-(2k-4)=5-2k=-2(k-5/2)≧0
∴k≦5/2 …(D)
(B),(C),(D)より
∴-2≦k=x+y^2≦5/2
最大値 「5/2」, 最小値 「-2」
k=-2(=最小値)の時 x=-2,y=0
k=5/2(=最大値)の時 (F),(E)より　x=1,y=±1

この回答へのお礼

とても助かりました！

ありがとうございました(^O^)

お礼日時：2010/09/27 20:59

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/09/27 14:59

では、優しく想像力を働かせて答えてみよう。

x＾2＋2y＾2＝a、とすると　aをa≧0の定数とする。
2y＾2＝a-x＾2≧0　から　｜x｜≦√a　‥‥(1)

x＋y＾2＝x＋(1/2)*(a-x＾2)　であるから、2(x＋y＾2)＝-(x-1)＾2＋a＋1　‥‥(2)

あとは、(1)の範囲で(2)の最大値と最小値を求める事になる。
これは、上に凸の2次関数だし、おそらくaは具体的な数字が与えられているだろうから、単純な問題になる。

続きは、自分でやって。

この回答への補足

ありがとうございます！


けど、
問題間違えてました。
すいません(´・_・｀)

X二乗＋2Y二乗＝4
でした。

もう一度、
教えてください。

補足日時：2010/09/27 18:48

No.1 回答者： ta20000005 回答日時： 2010/09/27 14:43

問題文を正確に書く習慣をまず身につけること。

みながみな優しく想像力を働かせて答えてくれるものでも無いから。