積分を微分したもの

積分を微分したもの

g(t)=∫(0からt)f(τ)dτ
は、なんで、
g'=f(t)
になるんでしょうか？
なんでτのところがtになるんでしょうか？

証明をお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/10/20 15:32

　f(τ)を積分したものをF(τ)とおいてみましょう。

　　F(τ)=∫f(τ)dτ

　すると、g(t)=∫(0からt)f(τ)dτ　は次のように書き換えられます。
　　g(t)＝F(t)-F(0)

　ここで両辺をtで微分します。
　　g'(t)=F'(t)=f(t)


　g(t)=∫(0からt)f(τ)dτ　⇒　g'=f(t)　は上記のことを簡略化して公式化したものです。

　

この回答へのお礼

なんとなく分りました。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/10/21 20:09

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/10/21 16:28

高校数学では、不定積分を原始関数の別名として定義し、

定積分は不定積分の値の差として定義するから、
質問の式は、「定義より自明」でしかない。
これが、指導要領に沿う回答。つまらんけど。

大人の数学では、定積分には、微分を経由しない定義があり、
定積分が原始関数の値の差で表されるという事実は、
「微積分学の基本定理」といって、一大定理となっている。
その証明は自体は、それほど難しくはないけれど、
前提として定積分を定義するところが少し難しいので、
ここで説明しきる自信は無いな。

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/20 16:16

こんにちわ。

高校数学の積分で、原始関数というのが出てきたと思います。
それを用いれば・・・

積分が「微分の逆」と言われる基礎事項のところですね。＾＾

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/10/20 14:25

g(t) が何の関数なのか, そして「g'」とは「どの変数で微分したものなのか」を考えてください.