数学IIB青チャートのP200の問題

aを定数とするθに関する方程式 cos^2θ + cosθ - a - 1 = 0 がある。
（ただし、0≦θ<2πとする）
（１）この方程式が解をもつためのaの条件を求めよ。
（２）この方程式の解の個数をaの値の範囲によって調べよ。

（１）で、cosθ=xとすると、x^2 + x - a - 1 = 0 となります。
これを二次関数とみて、
「x軸と接する場合」「x軸と一点で交わる場合」「x軸と二点で交わる場合」に場合分けをして、
それぞれ順に a=-5/4、-1<a≦1、 -5/4<a≦-1 なので
まとめて
-5/4≦a≦1 としました。（これは正解です）
よって、（２）は
a=-5/4のときと、 -1<a≦1 のとき の解は一個
-5/4<a≦-1 のときの解は二個
としました。これは単純にx軸との共有点の個数を解にしました。
つまり、二次関数のときとまったく同じように答えてしまったわけです。
これは答えるものすら間違っているということですよね？

三角方程式の解とは「角」であって、「x軸との共有点」ではない、たとえば、x軸と1/2で交わっていた場合、解とは「π/3、5π/3」の「二つ」となるんですよね?

また、問題集の解説では、cos^2θ + cosθ - 1 = a として解いているため、（２）も解き方が違い分かりません。

私のやり方（「x軸と接する場合」「x軸と一点で交わる場合」「x軸と二点で交わる場合」に場合分けをしたやり方）
から解を出す方法を教えてください。
一応解答を書いておきます。

a<-5/4のとき0個、a=-5/4のとき2個、-5/4<a<-1のとき4個、a=-1のとき3個、-1<a<1のとき2個、a=1のとき1個、1<aのとき0個
です。

No.2 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/11/12 03:32

＞私のやり方（「x軸と接する場合」「x軸と一点で交わる場合」「x軸と二点で交わる場合」に場合分けをしたやり方）から解を出す方法を教えてください。

　ｘ＝±１のときだけ　θの解は1個だけになり、ｘ≠±１のとき2個になることをおさえておけば十分なような気がします。


(a)　-1≦x≦1の範囲でx軸と接する場合　(a=-5/4 のとき)
　　このとき　x=-1/2 (≠±1)なので θは2個

(b)　-1≦x≦1の範囲でx軸と二点で交わる場合　(-5/4<a≦-1 のとき）
　　a=-1 のときだけ　x=-1 という解を含むので　θは3個
　　それ以外の -5/4<a<-1 のとき　-1<x<0 で2解をもつので　θは4個

(c)　-1≦x≦1の範囲でx軸と一点で交わる場合　(-1<a≦1 のとき）
　　a=1 のときだけ　x=1 という解を含むので　θは1個
　　それ以外の -1<a<1 のとき　0<x<1 で1解を持つので　θは2個

(d)　-1≦x≦1の範囲でx軸と交わらない場合　(a<-5/4,1<a のとき)
　　ｘは解をもたないので　θも解をもたない。　0個

　後は上記をまとめて整理するだけです。

＞a<-5/4のとき0個、a=-5/4のとき2個、-5/4<a<-1のとき4個、a=-1のとき3個、-1<a<1のとき2個、a=1のとき1個、1<aのとき0個

この回答へのお礼

皆さま回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/11/18 22:19

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/11/12 11:16

＞三角方程式の解とは「角」であって、「x軸との共有点」ではない、たとえば、x軸と1/2で交わっていた場合、解とは「π/3、5π/3」の「二つ」となるんですよね?

それが解ってるなら話は早い。cosθ＝0の時は　θの解が2個、cosθ＝1のときはθの解が1個、cosθ＝-1の時はθの解が1個である事に注意すれば後は簡単に行く。

＞また、問題集の解説では、cos^2θ + cosθ - 1 = a として解いているため、（２）も解き方が違い分かりません。

問題集の解の方が視覚的にもミスを防げるし、解も簡単に行く。
問題の設定が、いかにもそのように考える、と言ってるようだ。

cosθ＝tとする(｜t｜≦1)と、a＝t＾2＋t-1＝(t＋1/2)＾2-5/4　として、｜t｜≦1の範囲で　y＝(t＋1/2)＾2-5/4のグラフを書く。
それと、y＝aとの交点の数が解の個数である事は2次関数でやっただろう。それに三角関数を加味したに過ぎない。
但し、tとθの個数の対応が1対1とは限らない点が、三角関数の特徴だ。
cosθの値が、第1と第4象限ではプラス、第2と第3象限ではマイナスになる事に着目する。

(1)0≦t≦1の時　つまり、第1と第4象限で考える。
t＞1の時、つまりa＞1の時θの解はない
0＜t＜1の時、交点は1個から　つまり｜a｜＜1のθの解は2個
t＝1の時、a＝1から　θ＝0のみだからθの解は1個
t＝0の時　a＝-1から　θ＝π/2、3π/2　からθの解は2個

(2)-1≦t＜0の時　つまり、第2と第3象限で考える
t＝-1の時、a＝1から　θ＝0のみだからθの解は1個
t＝-1/2の時　a＝-5/4からθの解は2個
t＜-1の時、a＞-5/4の時θの解はない
-1＜t＜0の時、つまり－5/4＜a＜-1の時は　交点は2個から　のθの解は4個

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/11/12 10:41

こんにちわ。

「変数を置き換えている」ということを
しっかり頭に入れておく（意識しておく）ことがポイントですね。

たとえば、以下の sの4次方程式の解を考える問題も同様です。
s^4- 4s^2- a- 1＝ 0

s^2＝ tとでもおけば、2次方程式の問題に置き換わります。
ただし、t≧ 0という条件がつきますね。
いまの問題でいえば、-1≦ x≦ 1という条件がつくことと同じです。


そして、解の個数を考えるときには
・置き換えた xや sが重解となっていても、θや tが 1つとは限らない。
例）x＝ -1/2で重解をとったとしても、θ＝ 2π/3, 4π/3となって解は 2つ存在する。

・xや tの「境界」では、θや sは 1つになってしまう。
x＝ 1や x＝ -1、 t＝ 0のときには、解は 1つだけになってしまいます。
三角関数の方程式を扱う時には、±1のときに注意しないといけないということです。


＞また、問題集の解説では、cos^2θ + cosθ - 1 = a として解いているため、
＞（２）も解き方が違い分かりません。
基本的な考え方は同じです。
・keroro429さんの方針では、y＝ x^2+ x- a- 1と y＝ 0（x軸）の交点を考えています。
・問題集では、y＝ x^2+ x- 1と y＝ aの交点を考えています。

いずれも連立方程式をグラフ上で考えているだけです。
ただ、問題集の方が y＝ x^2+ x- 1という「固定された」グラフに対して、
y＝ aを動かすだけなので考えやすいのです。
ぜひ、この方法もマスターしておいてください。


いまの問題ですが、いきなり (2)だけだと y＝ x^2+ x- 1と y＝ aで考えたんじゃないかなあ？と思いました。
(1)が判別式だけで考えることも可能なので、そこから keroro429のような方針を立てる人も多いと思います。
すると、「(1)と (2)の考え方が違う」ように見えてしまいますね。＾＾

No.1 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/11/12 00:33

> a=-5/4のときと、 -1<a≦1 のとき の解は一個

> -5/4<a≦-1 のときの解は二個
> としました。これは単純にx軸との共有点の個数を解にしました。
> つまり、二次関数のときとまったく同じように答えてしまったわけです。
> これは答えるものすら間違っているということですよね？
>
> 三角方程式の解とは「角」であって、「x軸との共有点」ではない、たとえば、x軸と1/2で交わっていた場合、解とは「π/3、5π/3」の「二つ」となるんですよね?

大雑把に考えれば、「1つのxの値に対し、2つのΘが対応する」ので、

-5/4 < a ≦ -1 のときのxの解は2個
↓
「-5/4 < a ≦ -1 のときのΘの解は4個?

という予想が立ちませんか？

ただし、たまに「1つのxの値に対し、1つのΘしか対応しない場合」が存在します。
それを考慮したうえで上記の「予想」を照らし合わせて考えてみるとよいかもしれません。