y=-(x-a)^2+2lxl がx軸と異なる3点を共有するようなaの値を全て求めよ。

こんにちは。
この問題の解法を教えていただきたいです。

y=-(x-a)^2+2lxl がx軸と異なる3点を共有するようなaの値を全て求めよ。

まずx>0の時とx=0の時とx<0の時で場合分けして式を変形しましたが。
その後の方針が分かりません。
答えはa=0 ,±1/2です。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/10 18:33

「相異なる3点で x軸と交わるような・・・」とする。

1.
x≧0 のとき、与式から交点は
　x²-2(a+1)x+a²=0
→ x=a+1±√((a+1)²-a²)=a+1±√(2a+1)・・・①

x<0 のとき
　x²-2(a-1)x+a²=0
→ x=a-1±√((a-1)²-a²)=a-1±√(1-2a)・・・②

したがって、交点の候補は4点なので、3つの交点があるためには①②
の判別式が0以上が必要。つまり
　2a+1≧0 → a≧-1/2
　1-2a≧0 → a≦1/2
したがって、この２つを満たす必要があり
　-1/2≦a≦1/2・・・・・③
となる。


2.
つぎに、３点となるには、少なくとも一方には２つで、他方が１つの
場合となる。

①の解が存在するのは　a≧-1/2 の時、つまり、a+1>0 だから
　(a+1)²-(2a+1)=a²≧0
となり、x≧0 を満たし

は x≧0 だから、２つとも解となる。


3.
②の解が存在するのは、 a≦1/2 のとき、つまり、a-1<0 だから
　(a-1)²-(1-2a)=a²≧0
となり、一方の解は x≦0 となり、a≠0 の時以外、x<0 であり、
２つとも解となる。

4.
したがって
　-1/4≦a≦1/4
のとき、a≠0 の時以外、解は４つある。

a=0 のとき、①②の解は
　x=2,0 ,x=0,-2
となり、解は３つ。

あと、解が３つとなるのは①または②の解が１つの時、つまり、判別
式が0のとき
　① → 2a+1=0 → a=-1/2
　② → 1-2a=0 → a=1/2
のときとなる。

ゆえに
　a=0 , ±1/2
となる。

この回答へのお礼

endlessriver様
早速のご回答ありがとうございます。
非常にわかりやすい解説でした。
とても助かりました。

お礼日時：2022/07/10 19:02