微分方程式の説き方を教えてください

微分方程式で

ｙ’＝a*ｙ＾２+b*y+C

という問題を解きたいのですが解き方が詳しく解説されているサイトを教えてください。
それと、このような微分方程式をなんと呼ぶのですか？

１階線形微分方程式？

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： hornetoo7 回答日時： 2010/11/18 06:20

数学問題集「考える葦」数学質問掲示板　にも投稿してみてはどうでしょうか。

URLは

http://www2.ezbbs.net/34/eijitkn/

です。

この回答へのお礼

こんな便利なサイトがあることを知りませんでした。
ありがとうございます。

お礼日時：2010/11/19 05:25

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/18 11:06

>このような微分方程式をなんと呼ぶのですか？

>１階線形微分方程式？
質問の微分方程式は１階非線形常微分方程式です。

左辺=0が異なる2実解を持つ時(b^2-4aC>0の時)は
#2さんのように解けば良いですね。
>log((y-α)/(y-β))=a(α-β)x＋C
絶対値をつけて
log|(y-α)/(y-β)|=a(α-β)x＋c'
(元の微分方程式のCと区別するため任意定数をc'と書きました)
ここで、α,β(<α)は「ay^2+by+C=0」の異なる2実解

左辺=0が重解αを持つ時（b^2-4aC=0の時）は
y'/(y-α)^2=a
-1/(y-α)=ax+c'（c'は任意定数）
∴y=α-1/(ax+c') （c'は任意定数）
ここで　α=-b/(2a)
という解になります。

左辺=0が2虚数解を持つ時（b^2-4aC<0の時）は
y'=a{(y-α)^2+ω^2}
と書けるので
y'/{(y-α)^2+ω^2}=a
∴tan^-1((y-α)/ω)/ω=ax+c'（c'は任意定数）

yについて解けば
∴y=ωtan(ω(ax+c'))+α（c'は任意定数)
ここで　α=-b/(2a),ω=√(b^2-4ac)/(2a)

以上のようになるかと思います。

この回答へのお礼

詳しく答えまで教えていただきありがとうございます。
１階非線形常微分方程式というのですか。
微分方程式の名前ってすごく長いものもあってややこしいですよね。

お礼日時：2010/11/19 05:23

No.2 回答者： noname#121794 回答日時： 2010/11/18 07:50

まあ気付けばなんていうこともないんだがね。

a*ｙ＾２+b*y+C＝0となるyの解をα、βとおくと
y'=a(y-α)(y-β)

⇔∫{(1/(y-α))-(1/(y-β))}dy=∫a(α-β)dx

⇔log((y-α)/(y-β))=a(α-β)x＋C

もうこれで分かるっしょ。

この回答へのお礼

ヒントありがとうございます。

お礼日時：2010/11/19 05:21