No.2
- 回答日時:
#1の回答で、どうせ正三角形の対称性を使うなら、3点をA(0、√3*a)、B(-a、0)、C(a、0)にとってやると話は極めて簡単になる。
P(α、β) β>0 とすると、重心G(0、√3*a/3)となる。
座標を使う時は、一般性を失わない限りにおいて、都合良くとってやると良い。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
xy平面においてAを原点、Bをx軸上に取ります。
するとBの座標は(a,0)、Gの座標は(a/2、a√3/6)になります。例えば点Pが△GABの内部にあるとき、Pから各辺に下ろした垂線のうち最も短いのはABに下ろした垂線です。正三角形の対称性から、点Pが△GABの内部にあるときを考えてその領域の面積を3倍すれば目的の面積が求められます。
点Pの座標を(x、y)と置くと、ABに下ろした垂線の長さはyであり、PGの長さは√((x-a/2)^2+(y-a√3/6)^2)なので、
y>=√((x-a/2)^2+(y-a√3/6)^2)
とおき、整理するとxの二次不等式(境界は放物線)になります。この放物線とAG、GBで囲まれた領域の面積を求めます。△GABは左右対称なので、左半分だけの面積を求めて2倍した方が計算が単純になります。こうして求めた面積を3倍したものが最終的に求める面積です。
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