ハイパスフィルタの出力電圧の導出

ハイパスフィルタ(CR直列回路)にVsinωtの交流電圧が加わっているとき，抵抗Rの両端の電圧は

( V/√(1+(1/RCω)^2) ) × sin(ωt＋φ)

となるそうなのですが，この導出過程がどうしてもわかりません．
どなたか導出過程を教えていただけないでしょうか．

No.3 回答者： inara1 回答日時： 2010/12/09 20:13

電気屋さんはANo.2の計算法を使いますが、まともに計算するのならANo.1さんの方法です。

ANo.1さんの微分方程式を使った解法を添付します（添付図の式(3)の下の微分方程式を解くところは省略しました）。添付図の続きは以下の通りです。

ここで
　　　ω*C*R*sin( ω*t ) + cos( ω*t ) = A*sin( ω*t + Φ ) ただし -π≦Φ≦π --- (5)
とおくと、三角関数の和の公式から
　　　A*sin( ω*t + Φ ) = A*sin( ω*t )*cos(Φ) + A*cos( ω*t )*sin(Φ) --- (6)
なので、(5), (6) から
　　　{ ω*C*R - A*cos(Φ) }*sin( ω*t ) + { 1 - A*sin(Φ) }*cos(Φ) = 0
これが 任意の t について成り立つためには
　　　ω*C*R = A*cos(Φ) --- (7)
　　　 1 = A*sin(Φ) --- (8)
が同時に成立たなければならない。

式(7)の両辺の2乗と式(8)の両辺の2乗を足し合わせても等号が成り立つので
　　　( ω*C*R　）^2 + 1 = A^2*{ cos(Φ)^2 + sin(Φ)^2 } = A^2
　　　→ A = ±√{ ( ω*C*R　）^2 + 1 }
式(7)で Φ = 0 のとき cos(Φ) = 1 なので、A = ω*C*R ≧ 0 となるから、A は正の値となる。したがって
　　　A = √{ ( ω*C*R　）^2 + 1 } --- (9)

一方、式(8)/式(7) も等号が成り立つので
　　　1/( ω*C*R ) = tan(Φ)
　　　→ Φ = arctan{ 1/( ω*C*R ) }　--- arctan は tan の逆関数 --- (10)

式(5), (9), (10) から
　　　ω*C*R*sin( ω*t ) + cos( ω*t ) = √{ ( ω*C*R　）^2 + 1 }*sin( ω*t + Φ ) --- (11)
　　　ただし Φ = arctan{ 1/( ω*C*R ) }
したがって、式(4), (11) から
　　　Vout = V0*ω*C*R*√{ ( ω*C*R　）^2 + 1 }*sin( ω*t + Φ ) /{ 1 + ( ω*C*R )^2 }
　　　　　　= V0*ω*C*R*sin( ω*t + Φ ) /√{ 1 + ( ω*C*R )^2 }
　　　　　　= V0*sin( ω*t + Φ ) /√{ 1 + 1/( ω*C*R )^2 }
　　　　　　　ただし Φ = arctan{ 1/( ω*C*R ) }

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/12/09 08:20

>( V/√(1+(1/RCω)^2) ) × sin(ωt＋φ)

定常状態解ですね。
振幅が V/√(1+(1/RCω)^2) 、位相ずれがφ。

インピーダンスでの分圧を勘定するのがふつう。
まず、CR 直列回路を流れる電流 = I = V/{R + 1/(jωC)} なので、
抵抗 R の両端電圧の振幅 = R*I
　 = V*R/{R + 1/(jωC)} = V/{1 + 1/(jωCR)}　　　…(1)

あとは、振幅・位相の勘定。
(1) の絶対値 = V/√{1 + (1/ωCR)^2}
(1) の移相 = -arctan[-(1/ωCR)] = arctan(1/ωCR)
…かな？
　　　

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/12/07 23:21

CR 直列だから電流が等しいとして微分方程式を解けばいいだけでは?