なぜ自然数を平方した数の約数の個数が奇数個なのか

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質問者：turumino
質問日時：2011/01/02 10:50
回答数：3件

私は高校受験を控えている者です。志望校の過去問に取り組んでいたら、ある数学の問題で「約数の個数が奇数個である数は自然数を平方した数です」と解説されていたのですが、それはなぜでしょうか？私は理由がないものを暗記するのが苦手なので、なぜそうなるのかという理屈が知りたいのですが。

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回答 (3件)

No.3ベストアンサー

回答者： staratras
回答日時：2011/01/02 11:41

「ある整数」の約数の個数を考えます。

（１）まず「１」とその「ある整数そのもの」はどんな場合でも約数なので、どんな整数でも最低２個（ひと組）は約数があることになります。

（２）ここで「１」と「ある整数そのもの」以外の約数の個数を考えますと、これが存在する場合には、ある例外を除いてこれも必ず２個が一組で存在することが分かります。

例えば６の約数を考えると、「１」と「６」以外の約数は「２」と「３」ですが6÷2=3 6÷3=2 なので「2と3」は一組です。
また２４の約数を考えると　「１」と「２４」以外の約数は「２」「３」「４」「６」「８」「１２」ですが、24÷2＝12、24÷3=8、24÷4＝6　…、24÷12=2　なので「2と12」、「3と8」、「4と6」がそれぞれ一組です。

（３）それでは２個一組ではない約数（上で述べた「ある例外」）があるのはどんな場合かといえば、それがご質問の「自然数を平方した数」の場合です。
例えば9の約数を考えると「１」と「９」以外の約数は9=3×3なので「３」の1個だけです。
また16の約数を考えると「１」「１６」以外の約数は「２」「４」「８」で、このうち「２と８」は一組ですが、16=4×4なので「４」は単独です。

（1)（2)（3)をまとめますと、整数の約数は一般には２個一組の倍数なので約数の個数は偶数個ですが、「自然数を平方した数」の場合に限り「２個一組ではない約数」（＝その整数の平方根である自然数）が１個存在しますので、約数の個数は（偶数＋１）個、つまり奇数個になることが分かります。