等速円運動の問題

等速円運動の問題に関する質問です。

等速円運動の周期Tの2乗と半径rとが比例関係にある
　　　　　　周期Tの－2乗と向心力Fが比例関係にある
　　　　　　周期Tの2乗と物体の質量mが比例関係にある
この時向心力Fは物体の質量m,半径r,周期Tとどのような関係にあるといえるか。

という問題です。
おそらくF＝mr(2π/T)2乗のことだと思うのですが導き方がわかりません。

どうかよろしくお願いします。

No.2 回答者： Quarks 回答日時： 2011/07/07 00:34

言葉で書かれた内容を数式の言葉に翻訳するわけですね。

或る程度は恣意的に"変形"してやるのです。結論を予測しておき、それを導いてやれば良いわけですね。
円運動の向心力 F は Ｆ=mrω^2 です。
ω=2π/T
ですから
Ｆ＝(4π^2)ｍｒ/(Ｔ^2)
ですね。

いま、F、ｒを固定してみると
r/(T^2)＝一定　式（ア）
つまり
rはT^2に比例すると言えます。
「周期Tの2乗と半径rとが比例関係にある」という条件のことですね。
式（ア）の右辺の定数の次元は　[L][T^(-2)]であることは記憶しておきましょう。

同様に、F、ｍを固定すると
m/(T^2)＝一定　式（イ）
つまり
ｍはT^2に比例します。
「周期Tの2乗と物体の質量mが比例関係にある」のことです。
（イ）の定数の次元は　[M][T^(-2)]です。

ｍ、ｒを固定すると
Ｆ・(T^2)=一定　式（ウ）
つまりＦはT^2に反比例します。
「周期Tの－2乗と向心力Fが比例関係にある」のことです。
（ウ）の定数の次元は　[M][L][T^(-2)][T^(2)]＝[M][L]です※。
※力の次元は[M][L][T^(-2)]でした。

さあ、方針は定まりましたから、問題に即して、関係式を作って行きましょう。

(1)等速円運動の周期Tの2乗と半径rとが比例関係にある
比例するなら、どちらかに適当な比例定数を掛ければ＝で結べるので
T^2=k・ｒ　式(a)
kは適当な比例定数で、その次元は[T^2][L^(-1)]

(2)周期Tの－2乗と向心力Fが比例関係にある
Ｆ=k'・(1/(T^2))　式(b)
k'の次元は[M][L]です。

(3)周期Tの2乗と物体の質量mが比例関係にある
T^2=k"・m　式(c)
K"の次元は[T^2][M^(-1)]です。


(a)(c)のk,k"の次元から
(1/k)・(1/k")の次元は [M][L]/[T^(-4)]で、これは(k'の次元)/[T^(-4)]の次元に等しいわけです。
以上のことから、次元の等しさを考慮して
(1/k)・(1/k")=(r/(T^2))・(m/(T^2))
と
k'/{T^(-4)}=F・(T^2)・(T^(-4))=F・(1/(T^2))
とは
次元が一致しているので、適当な次元の無い定数Ｋを用いて
F・(1/(T^2))＝Ｋ・(r/(T^2))・(m/(T^2))
と書けるはずです。

整理すると
F＝Ｋ・(ｍｒ/(T^2))
となり、Ｆはｍｒ/(Ｔ^2)に比例することがわかりました。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/01/16 00:04

こういうことでしょうね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E9%81%8B% …