電界の強さについて

こんにちは
下記本を読んで電波とアンテナを学ぼうとしているのですが、最初からつまずきました。
下記本の中身の検索でP3に、「電界の強さが距離の３乗に逆比例して距離ともに急速に減少する」と書いてあるのですが、距離の２乗には慣れているのですが、３乗となると違和感があります。距離の３乗に逆比例するという文章は見たことがありません。なんとなく、２乗に逆比例するのは面積で、電界の強さはV／ｍであり距離なので、距離の３乗に逆比例するような気がするのですが、「電界の強さが距離の３乗に逆比例して距離ともに急速に減少する」のでしょうか？式で教えてください。

電波とアンテナのやさしい話―超ブロードバンド化の原理の発見 [単行本] 虫明 康人(著)


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No.4 ベストアンサー 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/02/06 10:55

少し話がかみ合っていないような気がします．

> 例えば、引用元の図1.1(b)で負電荷 ?1C と正電荷 1Cが、２ｍ離れている場合、その中間（１ｍ）の位置でp↑とr↑が同じ向きのときの電界強度は、4πε0＝１とすると、1V/mになるのでしょうか？
> この式は具体的にどのような場合に、使用されるのか？ご教示願います。

「この式」というのは
E↑(r↑) = 1/(4πε0) {2p↑/r^3}
のことをおっしゃっているのだと思いますが，
ANo.3に書かせていただいた通り
「電界の式 E↑(r↑) というのは，
任意の位置 r↑ = (x,y,z) における電界 E↑ を表す式」
であるので，

> この式は具体的にどのような場合に、使用されるのか？ご教示願います。

に対する答えとしては，
「p↑とr↑が同じ向きのとき
E↑(r↑) = 1/(4πε0) {2p↑/r^3}」
という主張自体が正しくても，
この式自体があまりにも限定された状況
(p↑とr↑が同じ向きの場合)でしか使えないため，
この式が使われることはほとんどないでしょう．

E↑(r↑) = 1/(4πε0) {3(p↑・r↑)r↑/r^5 - p↑/r^3}
のほうは，いろいろと使い道があると思いますが．

あと，

> 例えば、引用元の図1.1(b)で負電荷 ?1C と正電荷 1Cが、２ｍ離れている場合、その中間（１ｍ）の位置でp↑とr↑が同じ向きのときの電界強度は、4πε0＝１とすると、1V/mになるのでしょうか？

に対する答えとしては，
電気双極子という概念は，+q と -q の電荷の配置から十分離れたところから見たときに用いられるべきであって，質問されているような「+q と -q の真ん中」では，そもそも電気双極子として考えるのではなく，「2つの点電荷がつくるクーロン電場の重ね合わせ」と考えるべきです．
また，V/mという具体的な単位を持ち出す以上，「4πε0＝１とする」などということはできません．

「+q と -q の真ん中」における電界強度は

2/(4πε0) 1[C]/(1[m])^2 = 2/(4πε0) [V/m] ≒ 18×10^9 [V/m]

です．


> ＞引用元の文脈は，
> ＞「電界の大域的な振る舞いが r^3 に逆比例する」という主張ですから，
> ＞局所的な領域についての r に対する振る舞いについては考えていません．
> ＞言葉は悪いですが，もっと大雑把な振る舞いについて考えているのです．
> この文献の意味が何回読んでもつかめません。
> 引用元の図1.1(b)の、負電荷 -q と正電荷 qの距離を、1ｃｍから10ｃｍにすると、電界強度は、1000分の１になるとのことでしょうか？それとも、A地点に負電荷 -q を置いて、B地点に正電荷 qを置いて、電界を使った通信をしようと思っても、距離の３乗に逆比例するので不可であるとの意味でしょうか？

引用元の主張は +q と -q とが固定されているときに
(結果として+qと-qとの間隔dも固定される)，
この+qと-qとが作り出す電界の強度が距離rの3乗に逆比例するということです
(添付図参照)．

もちろん，rが(向きを変えずに) 1mから10mに変化すると，
電界強度は約1/1000になるでしょう．

静電界で通信はしないでしょうが，通信という言葉を持ち出すと，
「+q と -q がペアで作り出した電界が r^3 に逆比例して減衰するので，
このペアから離れた位置では，この静電界を受信することは難しい」
ということです．これが引用元の主張です．

この際，電荷のペアから近いところでは
電界調度は r^3 に逆比例するとはいえないかもしれませんが，
それ以外の大部分のところでは，電界強度は r^3 に逆比例して減衰しますよ
ってことです．

この回答への補足

何回もご回答頂き、誠に申し訳御座いません。
＞少し話がかみ合っていないような気がします．
＞「+q と -q の真ん中」における電界強度は
＞2/(4πε0) 1[C]/(1[m])^2 = 2/(4πε0) [V/m] ≒ 18×10^9 [V/m]
＞です．
そうなのですか。この部分の電界強度も距離の３乗に逆比例するものと思っておりました。
完全に間違って理解しておりました。

＞E↑(r↑) = 1/(4πε0) {3(p↑・r↑)r↑/r^5 - p↑/r^3}
＞のほうは，いろいろと使い道があると思いますが．
分かりました。

＞電界調度は r^3 に逆比例するとはいえないかもしれませんが，
＞それ以外の大部分のところでは，電界強度は r^3 に逆比例して減衰しますよ
＞ってことです．
図を付けて頂き、ｒの正しいイメージが掴めました。
No.1のご回答の中で、
＞正電荷による，位置 r↑ でのクーロン電位は
＞φ2(r↑) = +q/(4πε0) 1/|r↑ - d↑|.
＞これは |r↑| ≪ |d↑| であるとき，以下のように近似できる：
と御座いましたので、r↑はd↑より小さく、d↑の途中の部分の話であると思っておりました。
そうしますと
|r↑| >> |d↑|
になるのでしょうか？それとも、ｒの位置は添付して頂いたところですが、大きさは、
|r↑| ≪ |d↑|
なのでしょうか？

補足日時：2011/02/06 11:34

No.5 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/02/06 12:07

> 図を付けて頂き、ｒの正しいイメージが掴めました。

> No.1のご回答の中で、
> ＞正電荷による，位置 r↑ でのクーロン電位は
> ＞φ2(r↑) = +q/(4πε0) 1/|r↑ - d↑|.
> ＞これは |r↑| ≪ |d↑| であるとき，以下のように近似できる：
> と御座いましたので、r↑はd↑より小さく、d↑の途中の部分の話であると思っておりました。
> そうしますと
> |r↑| >> |d↑|
> になるのでしょうか？それとも、ｒの位置は添付して頂いたところですが、大きさは、
> |r↑| ≪ |d↑|
> なのでしょうか？

申し訳ありません．ご指摘の通りです．
正しくは

|r↑|≫|d↑|

です．話がかみ合わなかった元凶はすべてこのタイプミスです．

この回答へのお礼

お返事ありがとう御座います。
＞申し訳ありません．ご指摘の通りです．
＞正しくは
＞|r↑|≫|d↑|
＞です．話がかみ合わなかった元凶はすべてこのタイプミスです．
とんでも御座いません。お陰様で、より詳細に正確に理解出来ました。
有難う御座いました。今後ともよろしくご指導の程、お願い致します。

お礼日時：2011/02/06 12:27

No.3 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/02/06 07:36

> 質問１

> ＞= 1/(4πε0) {3(p↑・r↑)r↑/r^5 - p↑/r^3}.
> ＞このように，距離の3乗に逆比例する電界が得られます．
> 第１項が大きくて、第２項が小さい場合、距離の3乗に逆比例すると言えないこともありうるのでしょうか？

{}内第1項
3(p↑・r↑)r↑/r^5
ですが，p↑ と r↑ とがなす角をθとすると，

|3(p↑・r↑)r↑/r^5| = 3p cos θ/r^3

と表され，やはり r^3 に逆比例します．
ですので，電気双極子がつくる電界は第1項，第2項ともに r^3 に逆比例します．
ですので，第1項と第2項の大小関係にかかわらず，
電気双極子がつくる電界はr^3に逆比例するといえます．

ただ，「r^3に逆比例する」というときの，その比例定数が，
方向によって異なるということです．

> 質問２
> ＞p↑とr↑は同じ向きとは限りませんので，一般に
> ＞1/(4πε0) {3(p↑・r↑)r↑/r^5 - p↑/r^3}
> ＞=1/(4πε0) {2p↑/r^3}
> ＞は成り立ちません．
> p↑とr↑が同じ向き向きのときは成り立つのでしょうか？電気双極子p↑ は、負電荷 -q から正電荷 q へ向かうベクトルです。r↑が負電荷 -q から正電荷 q へ向かうベクトルのときに、成り立つのでしょうか？

同じ向きなら成り立ちます．

ただ，電界の式 E↑(r↑) というのは，
任意の位置 r↑ = (x,y,z) における電界 E↑ を表す式であるため，
特定の向きの r↑ について成り立つからといって

E↑(r↑) = 1/(4πε0) {2p↑/r^3}

と表すわけにはいけないということです．

「p↑とr↑が同じ向きのとき
E↑(r↑) = 1/(4πε0) {2p↑/r^3}」
と主張するのはOKです．

> 質問３
> 距離の3乗に逆比例する電界は、引用元の図1.1(b)で言えば、負電荷 -q と正電荷 qの間（約１ｃｍ）で成り立つものでしょうか？

-q と +q の間は，
電気双極子のつくる電界の式の守備範囲外ですので，
この式を適用できません．成り立たないといっていいのでは?

引用元の文脈は，
「電界の大域的な振る舞いが r^3 に逆比例する」という主張ですから，
局所的な領域についての r に対する振る舞いについては考えていません．
言葉は悪いですが，もっと大雑把な振る舞いについて考えているのです．

※こういう「大雑把な観点」というのは，
大域的な振る舞いを把握するのに非常に重要だと考えます．

> それとも、例えば、この図の電気力線は１５本書いてありますが、右に寄っていくと、１６本目の線は書いてありません。この辺りの距離になると、距離の3乗に逆比例するので電界がほとんど無いということなのでしょうか。

「具体的にどこからか?」という話になってくると，
どの程度の精度で話をしているのかによって答えが変わってくると思いますが，
非常に大雑把な話をすると，「15本目の電気力線より右側」の電界は，
「-q と +q の間」に比べると，非常に弱くなっているでしょう．

※「ほとんど無い」と言い切っていいかどうかは精度によりますけど．

ただ，「15本目の電気力線よりすぐ右側の位置」が
「-q と +q の間隔に比べて充分遠い位置」とはいえないと思いますので，
「15本目の電気力線よりすぐ右側の位置」において
電気双極子がつくる電界の式は使わない方がいいと思います．

この回答への補足

いつもご丁寧な回答ありがとう御座います。

＞|3(p↑・r↑)r↑/r^5| = 3p cos θ/r^3
＞と表され，やはり r^3 に逆比例します．
ベクトルのイメージがだいたい分かりました。

＞「p↑とr↑が同じ向きのとき
＞E↑(r↑) = 1/(4πε0) {2p↑/r^3}」
＞と主張するのはOKです．
分かりました。
例えば、引用元の図1.1(b)で負電荷 –1C と正電荷 1Cが、２ｍ離れている場合、その中間（１ｍ）の位置でp↑とr↑が同じ向きのときの電界強度は、4πε0＝１とすると、1V/mになるのでしょうか？
この式は具体的にどのような場合に、使用されるのか？ご教示願います。

＞引用元の文脈は，
＞「電界の大域的な振る舞いが r^3 に逆比例する」という主張ですから，
＞局所的な領域についての r に対する振る舞いについては考えていません．
＞言葉は悪いですが，もっと大雑把な振る舞いについて考えているのです．
この文献の意味が何回読んでもつかめません。
引用元の図1.1(b)の、負電荷 -q と正電荷 qの距離を、1ｃｍから10ｃｍにすると、電界強度は、1000分の１になるとのことでしょうか？それとも、A地点に負電荷 -q を置いて、B地点に正電荷 qを置いて、電界を使った通信をしようと思っても、距離の３乗に逆比例するので不可であるとの意味でしょうか？

何回も申し訳御座いませんが、ご教示頂きましたら幸いです。

補足日時：2011/02/06 08:32

No.2 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/02/05 19:09

> １．負電荷による，位置 r↑ での電界は、

> 　　E↑(r↑)
> = -∇φ1(r↑)
> = -1/(4πε0) ∇(1/r)
> = 1/(4πε0) { r↑/r^3}.
> になると思うのですが、この場合は、
> 距離の３乗に逆比例する電界が得られるとしては駄目なのでしょうね？

E1↑(r↑) = -∇φ1(r↑) = -q/(4πε0) r↑/r^3

となります．これは単独の電荷がつくる電界です．

分母に r^3 が現れているので，
距離の3乗に逆比例するように見えますが，
r = |r↑| であり，
電界の強さは

E(r↑) = |E↑(r↑)| = q/(4πε0) |r↑|/r^3 = q/(4πε0) 1/r^2,

すなわち，r^2 に逆比例します．

> =1/(4πε0) { r↑/r^3}.
> = 1/(4πε0) { 1/r^2}.
> として、距離の２乗に逆比例する電界が得られるとするのでしょうか？
> ベクトル↑rを使用した計算に慣れていないので、↑rとrを、どのように扱えば良いのか？基本的なところが分かりません。

1/(4πε0) {r↑/r^3} はベクトル，
1/(4πε0) {1/r^2} はスカラーですので，
両者はイコールではありません．

> ２．最後の結論ですが
> 1/(4πε0) {3(p↑・r↑)r↑/r^5 - p↑/r^3}.
> =1/(4πε0) {2p↑/r^3}.
> としても良いのでしょうか？

いいえ．
p↑とr↑は同じ向きとは限りませんので，一般に
1/(4πε0) {3(p↑・r↑)r↑/r^5 - p↑/r^3}
=1/(4πε0) {2p↑/r^3}
は成り立ちません．

> ３．
> φ2(r↑) = +q/(4πε0) 1/|r↑ - d↑|.
> これは |r↑| ≪ |d↑| であるとき，以下のように近似できる：
> φ2(r↑)
> ≒ +q/(4πε0) {1/r - d↑・∇(1/r)}
> どうして、この式が導かれるのでしょうか？

例えば，一変数の関数f(x + h)の場合，hが充分小さければ
f(x + h) = f(x) + h df(x)/dx
と近似できますよね．これを三変数 r↑ = (x,y,z) の関数に拡張したものが
f(r↑ + h↑) = f(r↑) + h↑・∇f(r↑)
です．この式で
f(r↑) = 1/r, h↑ = -d↑
とすると
+q/(4πε0) {1/r - d↑・∇(1/r)}
が得られます．

> ４．さらに
> +q/(4πε0) {1/r - d↑・∇(1/r)}
> = +q/(4πε0) {1/r + d↑・r↑/r^3}.
> どうして、この式が導かれるのでしょうか？

r = √(x^2 + y^2 + z^2) なので，
∇(1/r) の x 成分は
∂/∂x(1/r)
= d/dr(1/r) ∂r/∂x
= -1/r^2 2x/(2√(x^2 + y^2 + z^2))
= -1/r^2 x/r
= -x/r^3.
同様に
∂/∂y(1/r) = -y/r^3,
∂/∂z(1/r) = -z/r^3.

∴∇(1/r)
= (∂/∂x(1/r),∂/∂y(1/r),∂/∂z(1/r))
= -(x,y,z)/r^3
= -r↑/r^3.

この結果を +q/(4πε0) {1/r - d↑・∇(1/r)} に代入すると，
+q/(4πε0) {1/r + d↑・r↑/r^3}
が得られます．

この回答への補足

ご丁寧なお返事ありがとう御座います。すいません。やはりr↑がよく分かりません。基本的なことを教えてください。
質問１
＞= 1/(4πε0) {3(p↑・r↑)r↑/r^5 - p↑/r^3}.
＞このように，距離の3乗に逆比例する電界が得られます．
第１項が大きくて、第２項が小さい場合、距離の3乗に逆比例すると言えないこともありうるのでしょうか？
質問２
＞p↑とr↑は同じ向きとは限りませんので，一般に
＞1/(4πε0) {3(p↑・r↑)r↑/r^5 - p↑/r^3}
＞=1/(4πε0) {2p↑/r^3}
＞は成り立ちません．
p↑とr↑が同じ向き向きのときは成り立つのでしょうか？電気双極子p↑ は、負電荷 -q から正電荷 q へ向かうベクトルです。r↑が負電荷 -q から正電荷 q へ向かうベクトルのときに、成り立つのでしょうか？
質問３
距離の3乗に逆比例する電界は、引用元の図1.1(b)で言えば、負電荷 -q と正電荷 qの間（約１ｃｍ）で成り立つものでしょうか？それとも、例えば、この図の電気力線は１５本書いてありますが、右に寄っていくと、１６本目の線は書いてありません。この辺りの距離になると、距離の3乗に逆比例するので電界がほとんど無いということなのでしょうか。

補足日時：2011/02/05 21:31

No.1 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/02/04 00:21

引用元の図1.1(b)を充分遠いところから見ると，球状の電極は，その大きさを無視することができ．その結果，正負の点電荷が短い距離 d 隔てて相対しているものと見なせます．このようなものを電気双極子といいます．

今，負電荷 -q から短い距離 d↑ 隔てたところに正電荷 +q が存在する状況を考えます（「d↑」は「ベクトルd」を表します）．

負電荷による，位置 r↑ でのクーロン電位は
φ1(r↑) = -q/(4πε0) 1/r.
ただし r = |r↑|.

正電荷による，位置 r↑ でのクーロン電位は
φ2(r↑) = +q/(4πε0) 1/|r↑ - d↑|.
これは |r↑| ≪ |d↑| であるとき，以下のように近似できる：
φ2(r↑)
≒ +q/(4πε0) {1/r - d↑・∇(1/r)}
= +q/(4πε0) {1/r + d↑・r↑/r^3}.

したがって，正負の電荷のペア(電気双極子)がつくる電位は
φ(r↑)
= φ1(r↑) + φ2(r↑)
≒ -q/(4πε0) 1/r + q/(4πε0) {1/r + d↑・r↑/r^3}
= q/(4πε0) d↑・r↑/r^3
= 1/(4πε0) p↑・r↑/r^3 (p↑ = q d↑).

p↑ を電気双極子モーメントといいます．

電界は
E↑(r↑)
= -∇φ(r↑)
= -1/(4πε0) ∇(p↑・r↑/r^3)
= 1/(4πε0) {3(p↑・r↑)r↑/r^5 - p↑/r^3}.

このように，距離の3乗に逆比例する電界が得られます．

大雑把にいうと，+qによる主要項(r^2に逆比例)と-qによる主要項(r^2に逆比例)が互いに打ち消し合って，r^3 に逆比例して減衰する項が主要項になったと考えられるのではないでしょうか?

この回答への補足

お返事ありがとう御座います。
ご丁寧かつ詳細な計算過程を示して頂き有難う御座います。
この本を読もうとしましたきっかけは、アンテナと電波について学ぶことですが、それよりも大事な基礎的なことを学ぶことが出来てうれしいです。しかし私の力不足により、ご教示頂いたことを完全には理解できません。下記について教えてください。

１．負電荷による，位置 r↑ での電界は、
　　E↑(r↑)
= -∇φ1(r↑)
= -1/(4πε0) ∇(1/r)
= 1/(4πε0) { r↑/r^3}.
になると思うのですが、この場合は、
距離の３乗に逆比例する電界が得られるとしては駄目なのでしょうね？
=1/(4πε0) { r↑/r^3}.
= 1/(4πε0) { 1/r^2}.
として、距離の２乗に逆比例する電界が得られるとするのでしょうか？
ベクトル↑rを使用した計算に慣れていないので、↑rとrを、どのように扱えば良いのか？基本的なところが分かりません。

２．最後の結論ですが
1/(4πε0) {3(p↑・r↑)r↑/r^5 - p↑/r^3}.
=1/(4πε0) {2p↑/r^3}.
としても良いのでしょうか？

３．
φ2(r↑) = +q/(4πε0) 1/|r↑ - d↑|.
これは |r↑| ≪ |d↑| であるとき，以下のように近似できる：
φ2(r↑)
≒ +q/(4πε0) {1/r - d↑・∇(1/r)}
どうして、この式が導かれるのでしょうか？

４．さらに
+q/(4πε0) {1/r - d↑・∇(1/r)}
= +q/(4πε0) {1/r + d↑・r↑/r^3}.
どうして、この式が導かれるのでしょうか？

誠に申し訳御座いませんが、よろしくお願います。

補足日時：2011/02/05 12:11