三角柱を重心を通る平面で切断すると体積は2等分

三角柱の重心とは、底面の三角形の重心の真上にあり、高さは三角柱の高さの半分である点のことです。

三角柱をその重心を通る平面で切断します。
ただし、平面は上底面や下底面は通らないものとします。

このとき、体積は2等分されるのですが、それを示すにはどうすればよいのでしょうか？

なお、この事実は、三角柱だけでなく、任意の柱体においても成立するので、できるだけ一般的な証明を教えていただければと思います。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2011/03/26 05:45

BC=a、CA=b、AB=c

三角形ABCの重心をPとして、Pから辺BC,CA,ABまでの距離をd,e,fとすると、
三角形ABCの面積Sは、
S=3ad/2=3be/2=3cf/2

PG=g、AH=h、BI=i、CJ=jとすると、重心の定義より、
(h+i+j)/3=g

三角錐G-ABCの体積V0は、
V0=Sg/3
四角錐G-BCJIの体積V1は、
V1=ad(i+j)/6=S(i+j)/9
四角錐G-BCJIの体積V2は、
V2=be(j+h)/6=S(j+h)/9
四角錐G-BCJIの体積V3は、
V3=cf(h+i)/6=S(h+i)/9

重心を通る平面で切断したときの上部の体積は、
V0+V1+V2+V3=Sg/3+S(i+j)/9+S(j+h)/9+S(h+i)/9
=Sg/3+2S(h+i+j)/9
=Sg/3+2Sg/3
=Sg
となって、三角柱の体積の半分になります。

三角柱以外は、重心の定義がよく分からないのでパスします。

No.1 回答者： noname#130496 回答日時： 2011/03/25 18:12

（一般性を失わずに）底面をx・y平面に平行にとり、柱体の半分の高さの底面に平行な断面をSとします。

Sがx・y平面（z=0）に含まれるようにとります。
重心のx、y座標をs、tとします。
(s, t, 0)を通る平面に対応する線形関数α(x-s)+β(y-t)をS上で積分したら0になるかどうかを、重心の定義に従って検討すればいいと思います。