数学の質問です。

放物線ｙ＝ｘ＾２上の相異なる３点（a,a^2）（b,b^2）（c,c^2）における法線が一点で交わるときa+b+c=0 であることを証明しなさい

どなたかお願いします。

No.4 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/04/17 02:23

こんばんわ。

少し気になった。というよりも気になりそうなところだけ。
#2さんの回答で
＞x-a+2a(y-a^2)=0…(1)

となっていますが、点(a, a^2)における微分係数が 2aとなることを用いれば、
法線の方程式は
y- a^2＝ -1/(2a)* (x- a)

と書き下すことになります。
しかし、この形に書いた時点で a≠ 0を前提としてしまいます。
つまり、このまま解答を進めてしまうと、a≠ 0（同様に、b≠ 0、c≠ 0）として考えていることになります。

勝手に、x座標が 0となる点を除外するわけにはいきません。
そこで、分母に 0がこないように、両辺に 2aをかけて整理することで (1)式の形にしています。
これであれば a＝ 0となっても、法線の方程式は x＝ 0（y軸）と正しい式が得られます。

ちょっとした一工夫なのですが、大事な点だと思います。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/16 23:59

補足待ちをしている間に

模範解答を書いてしまった
回答者がいるようで、
たいへん残念です。
いつか、回答の丸写しではなく、
自分で考えてみる姿勢を持った
人になって下さい。
そのとき、また合いたいですね。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/04/16 23:47

3本の法線を求めると

x-a+2a(y-a^2)=0…(1)
x-b+2b(y-b^2)=0…(2)
x-c+2c(y-c^2)=0…(3)
ただし a<b<c …(4)

(1)と(2)の交点P1および(2)と(3)の交点P2を求めると
P1:x=-2ab(a+b),y=a^2+ab+b^2+(1/2)

P2:x=-2bc(b+c),y=b^2+bc+c^2+(1/2)
(1),(2),(3)が一点で交わることと、P1とP2が一致することと等価なので
以下の式が成り立つ。
ab(a+b)=bc(b+c) …(5)
a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2 …(6)

(6)から
(a-c)(a+b+c)=0
a≠cなので　∴a+b+c=0…(7)
(5),(7)から
-abc=-abc 常に成立。
したがって、(7)が成り立つ。（証明終り）

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/16 13:48

まづ、放線の式を３三本とも書き出してみましょう。

補足に記入してください。解き方は、それからです。
この部分で詰まるようなら、自分で教科書を読む
ことが必要。