4次方程式
x^4-x^3+ax^2+x+1=0
は虚数解αをもち,
(α + 1/α)^16>0 のとき,実数aの値を求めよ.

(答)a=5/2 , (6±3√2)/2

いったいどのようにしてaを求めるのでしょうか?

A 回答 (13件中1~10件)

筋書きだけでも。



 x^4-x^3+ax^2+x+1 = x^2(x^2 - x + a + 1/x + 1/x^2)
 にて、u = (x - 1/x) とすれば、
 x^2 - x + a + 1/x + 1/x^2 = u^2 - u + (a+2) = P(u)

P(u) の零点 uo は、
 uo = {1±i*SQRT(7+4a)}/2   …(1)
x は、
 xo = {uo±SQRT(uo^2 + 4)}/2
これに対応して、
 xo + 1/xo = (uo^2 + 4)^(1/2)
つまり、
 (xo + 1/xo)^16 = (uo^2 + 4)^8   …(2)

(1), (2) から、
 arg(uo^2 + 4) = atan[2SQRT(7+4a)/(5-2a)]   …(3)

(3) が (π/8) の整数倍になる a を調べる…みたいな手?

たとえば、a = 5/2 なら(π/8) の 4 倍。
    
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

 uo = {1±i*SQRT(7+4a)}/2 
なので、
uo^2 + 4 = (5-2a)/2 + (i/2)SQRT(7+4a)

(xo + 1/xo)^16 = (uo^2 + 4)^8 > 0 
なので、

arg(uo^2 + 4) = (π/4) の整数倍

(5-2a)/2 + (i/2)SQRT(7+4a) の実部と虚部のどちらかが0、もしくは、
実部と虚部の比が1:±1

それからaを求める。
(5-2a)/2 = 0 のとき、a=5/2
SQRT(7+4a) = 0 のとき、uo は虚数でなくなり、題意から不適。
(5-2a)^2 = {SQRT(7+4a)}^2  のとき、a= (6±3√2)/2

なんとか解けました。ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/29 22:14

我ながら嫌になりますけど、また訂正。



(α+ 1/α) = d(1 + i) と置けるから、
 α= {d(1 + i) ±sqrt(id^2 - 4)}/2


  
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2011/05/05 20:59

恒例の訂正。



(α+ 1/α) = d(1 + i) と置けるから、
 α= {id ±sqrt(id^2 - 4)}/2
u = (x - 1/x) とおき、x へαを代入して、
 u = (α - 1/α)
 = sqrt[{-4 + sqrt(16 + d^4)}/2] + i*sqrt[{4 + sqrt(16 + d^4)}/2]
これを方程式
 u^2 - u + (2+a) = 0
へ代入し、まず虚部をゼロに等置すれば、
 d^2 = sqrt[{4 + sqrt(16 + d^4)}/2]
となり、
 d^4 = 17/4
を得る。
実部へこれを代入し、ゼロに等置すれば、
 -4 - sqrt[{-4 + sqrt(16 + d^4)}/2] + 2 + a = 0
となり、
 a = 5/2
を得る。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2011/05/05 20:57

「筋書き」からわかるように、


 x^4 - x^3 + ax^2 + x + 1 = 0
なる 4 次方程式は、「2 次方程式解法」を 2 回適用すれば解けます。
同様にして、4 次方程式の解 α について、
 arg(α+ 1/α) = π/4
が成立する場合の a を勘定する「筋書き」を…。

arg(α+ 1/α) = d(1 + i) と置けるから、
 α= {id ±sqrt(id^2 - 4)}/2
u = (x - 1/x) とおくと、x へαを代入して、
 u = (α - 1/α)
 = sqrt[{-4 + sqrt(16 + d^4)}/2] + i*sqrt[{4 + sqrt(16 + d^4)}/2]
これを方程式
 u^2 - u + (2+a) = 0
へ代入し、まず虚部をゼロに等置すれば、
 d^2 = sqrt[{4 + sqrt(16 + d^4)}/2]
となり、
 d^4 = 17/4
を得る。
実部へこれを代入し、ゼロに等置すれば、
 -4 - sqrt[{-4 + sqrt(16 + d^4)}/2] + 2 + a = 0
となり、
 a = 5/2
を得る。
   
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2011/05/05 20:49

筋書きだけで止めるべきでしたね。



>arg = (π/4) なら、SQRT(7+4a)/(5-2a) = 1

tan 値で錯乱してます。
お騒がせでした。
   
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2011/05/01 16:13

またまた、誤記訂正。



 arg(xo + 1/xo)^2 = arg(uo^2 + 4) = atan[SQRT(7+4a)/(5-2a)]   …(3) **
     
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2011/04/29 22:27

 uo = {1±i*SQRT(7+4a)}/2   …(1)


 (xo + 1/xo)^16 = (uo^2 + 4)^8   …(2)
 (xo + 1/xo)^2 = arg(uo^2 + 4) = atan[SQRT(7+4a)/(5-2a)]   …(3) *
(3) *の arg が (π/8) の整数倍になる a を調べる…

たとえば、a = 5/2 なら (3) *にて arg = (π/2) 、つまり (π/8) の 4 倍。

また、(3) *にて arg = (π/4) なら、
 SQRT(7+4a)/(5-2a) = 1/SQRT(2)
 a = {7 + SQRT(38)}/2

…この勘定、あってますか?
   
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

(π/8) の整数倍
ではなく、
(π/4) の整数倍
と思います。

arg = (π/4) なら、SQRT(7+4a)/(5-2a) = 1/SQRT(2)
ではなく、
arg = (π/4) なら、SQRT(7+4a)/(5-2a) = 1
と思います。

お礼日時:2011/04/29 22:27

筋書きはそのまま、誤記だけ訂正。



 arg(uo^2 + 4) = atan[SQRT(7+4a)/(5-2a)]   …(3) *
    
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2011/04/29 22:27

基本はある複素数を極形式に直すことがポイント。


まずx=0ならば元の4次方程式はaがどんな実数値でも満たさないので
x≠0とできて
x^4-x^3+ax^2+x+1=0 ⇔ a=-(x^2+1/x^2)+(x-1/x)=-(x+1/x)^2-(x+1/x)+2(1+x)

で虚数解αが
(α + 1/α)^16>0 となるような実数値aを定める。
そのためには
A={α|(α + 1/α)^16>0、αは実数でない複素数}、f(x)=-(x+1/x)^2-(x+1/x)+2(1+x)
とおいて
f(α)が実数値をとるようなα∈Aはなんなのか。

(α + 1/α)=r(cosΘ+isinΘ)とおくと (r∈R\{0}、0≦Θ≦2π)
(α + 1/α)^16>0から(α + 1/α)^16は正の実数値をとるので
(α + 1/α)^16=r^16(cos16Θ+isin16Θ)より
16Θ=0,2π,4π,・・・・・,32π でなければならない。
すなわち
Θ∈B={0,π/8,2π/8,3π/8,・・・・,16π/8}ならば(α + 1/α)^16>0であるから
f(α)が実数値をとるようなΘ∈Bを定めればよい。
そして
Im(f(α))=-r^2sin2Θ-rsinΘ+2Im(α)が0となるようなΘ∈Bを
さらに制限して求めればできる。

例えばΘ=0のとき
α+1/α=rとなるαを解いて
Im(f(α))=-r^2sin2Θ-rsinΘ+2Im(α)=2Im(α)=0 となるrを求めてみれば
f(α)=-r^2cos2Θ-rcosΘ+2Re(α)+2
がaの値。
これをそれぞれΘ∈Bについて存在しないことも吟味して今のようにΘとrとの存在性を決定して求めた値が最終的な答え。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

とてもすばらしい考えだと思うのですが、
Θ∈B={0,π/8,2π/8,3π/8,・・・・,16π/8}において、

α+1/α=r
Im(f(α))=-r^2sin2Θ-rsinΘ+2Im(α)=0
という連立方程式を解くことが困難に思うのです。

ところで、
x^4-x^3+ax^2+x+1=0
は虚数解αをつから、α^4-α^3+aα^2+α+1=0
(α + 1/α)^16
を有理化する(この展開はしんどすぎて躊躇してしまう)と、αの3次式になるので、その3次の係数と2次の係数と1次の係数がすべて0という方針で解けないものでしょうか?

お礼日時:2011/04/29 22:23

>虚数とは、複素数から実数を除いたものです。

u+iv(v≠0)のことです。
>iv(v≠0)というのは純虚数のことで、それではありません。

…虚数 = 純虚数、だと思いました。
失礼。

α + (1/α) の 16 乗が実数になるような複素数 (虚部非零) ということですね。
出直します。
  
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2011/04/29 22:24

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>等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。

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条件から、α^2=βγ、or、β^2=αγ、or、γ^2=αβ。
従って、(α^2-βγ)*(β^2-αγ)*(γ^2-αβ)=0 ‥‥(1) である事が必要十分条件。
αβγ=-8 からαβ=-8/γ、βγ=-8/α、αγ=-8/β であるから (1)に代入すると (α+2)*(β+2)*(γ+2)*(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)=0となる。
(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)>0 より(α+2)*(β+2)*(γ+2)=0 つまり 少なくても1つの解は -2であるから原式に代入すると、b=2a ‥‥(2)

同様にして、等差数列の場合も 2γ=α+β、or、2β=γ+α、or、2α=β+γ であるから (2γ-α-β)*(2β-γ-α)*(2α-β-γ)=0 ‥‥(3)
α+β-2γ=(α+β+γ)-3α=-(3α+a)等より、(a+3α)*(a+3β)*(a+3γ)=a^3+3(α+β+γ)a^2+9(αβ+βγ+γα)a+27αβγ=0.
解と係数から、2a^3-9ab+216=0 → (2)から a^3-9a^2+108=0‥‥(4)
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こういう場合は、出来るだけ“対称性”を使った方が良い。

>等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。

そんな事はない。

条件から、α^2=βγ、or、β^2=αγ、or、γ^2=αβ。
従って、(α^2-βγ)*(β^2-αγ)*(γ^2-αβ)=0 ‥‥(1) である事が必要十分条件。
αβγ=-8 からαβ=-8/γ、βγ=-8/α、αγ=-8/β であるから (1)に代入すると (α+2)*(β+2)*(γ+2)*(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)=0となる。
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数学上では、二つの整数 a, b に対して、その最大公約数を『gcd(a, b)』と表記することが多い。
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【性質】
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------
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参考URLは百科事典ウィキペディア(Wikipedia)の整数のページです。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0

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