２つの平面の交線

数学の問題です。
２つの平面、α：x+2y-2z=1 β：2x+3y+z=-2
の交線を媒介変数を含まない形で求めよ。です
途中式も書いてもらえたら光栄です。よろしくお願いします

No.3 回答者： mukkuri_bear 回答日時： 2011/05/06 02:57

媒介変数を使った式を求めることが出来るのならば、あとは変形だけです。

例えば、媒介変数ｔを用いて
直線：
x=at+b
y=ct+d
z=et+f
との計算結果が得られたら、ｔ＝の形にして
t=(x-b)/a
t=(y-d)/c
t=(z-f)/e
となるので、最終的には
直線（媒介変数のない表現）：(x-b)/a=(y-d)/c=(z-f)/e
これが答えになります。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/05/06 02:51

交線上の異なる２点を求めれば、それらの2点を結ぶ直線は簡単に求まりますね。

交線上の点はαとβの両方を満たします。つまり変数３個で方程式２つなので１つの変数は自由に定めてよく、他は連立方程式を解けば、交線上の点が求まることになります。

z=0とおくと
α：x+2y=1
β：2x+3y=-2
連立方程式を解くとx=-7,y=4 ∴交線上の点A(-7,4,0)

z=1とおくと
α：x+2y=3
β：2x+3y=-3
連立方程式を解くとx=-15,y=9 ∴交線上の点B(-15,9,1)

交線はA、Bを結んで出来る直線であり次式で与えられる。
{x-(-7)}/{-15-(-7)}=(y-4)/(9-4)=(z-0)/(1-0)
整理して
-(x+7)/8=(y-4)/5=z

(注）同じ直線の式でも色々書けるので一通りではない。
例）変形すると
-5x-35=8y-32=40z
-5x-3=8y=8(5z+4)
-(5x+3)/8=y=5z+4
-5x=8y+3=5(8z+7)
x=-(8y+3)/5=-(8z+7)
などとなるが、皆同一の直線を表す。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/05/06 01:47

とりあえず変数を 1つ消してみる.

この回答への補足

変数をひとつ変えて直線の方程式はもとめられるんです。しかし、媒介変数をつかわないとなると分からなくて…

補足日時：2011/05/06 02:08