解の公式を利用した因数分解について

今、高一で、４日後位に考査があるのですが、因数分解で、たすき掛けの組み合わせに気づけないことがよくあります。解の公式を利用して因数分解が出来るようなので、考査の「奥の手」として使えるようにしておきたいのですがウィキペディアを見ただけで、分かったつもりになってるレベルです。

与式の解を２つとも求めて、　(x^2の係数){x-(解i)}{x-(解ii)}　の形にすれば良いのでしょうか？

また、注意事項などあれば教えて下さい。授業では習っていないので、思い違いなどがあるのではないか心配です。

よろしくお願いします。

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2011/05/22 14:05

A No.5 のやり方でも、

6x^2 + 11x - 35 = (6x + 21)(6x - 10) / 6
で終わらずに
6x^2 + 11x - 35 = (2x + 7)(3x - 5)
と変形しておくべきですよね。

(x^2の係数){ x - (解i) }{ x - (解ii) }
のまま終わらないほうがよい(場合が多い)
のと同じ理由です。

No.5 ベストアンサー 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/05/22 12:11

＞因数分解で、たすき掛けの組み合わせに気づけないことがよくあります。

x^2の係数が1じゃないときの話ですよね？

私が就職してから知って、現役の時に知っていれば良かったと思ったテクニックを。

6x^2+11x-35

x^2の係数を全体に掛けます。
因数分解した後に、同じ数で割って、全体の値を元に戻すことを忘れないように。

x^2の係数が6なので、全体に6を掛けます。
36x^2+66x-210

x^2の係数の6を掛けたことで、x^2の係数が平方数である36になったので、6xをXに置き換えることで、X^2の係数を1にすることができます。

X^2+11X-210

定数項が大きくなりがちなのが少し難点ですが、2乗の係数が1じゃなくてたすき掛けをするよりはマシですよね。

(X+21)(X-10)

Xを6xに戻します。

(6x+21)(6x-10)
=6(2x+7)(3x-5)

6で割って全体の値を元に戻します。

(2x+7)(3x-5)


だらだらと長くなりましたが、慣れると、

6x^2+11x-35
=(X^2+11X-210)/6
=(6x+21)(6x-10)/6
=(2x+7)(3x-5)

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/05/22 11:48

今回も、例によって誤記が…

その意味では、
6x^2 + 5x - 6 = 5(2x/5 - 4/15)(3x + 9/2) だって正解です。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/05/22 11:45

前回質問で、その解法をそそのかした者です。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6751591.html でも、
答えを
与式 = (y^2 - 1){ x - (y-1)/(y+1) }{ x + (y+1)/(y-1) }
で終わらせず、
与式 = (xy + x - y + 1)(xy - x + y + 1)
と変形しておいたと思います。そこから汲んで欲しかった。

(x^2の係数){ x - (解i) }{ x - (解ii) } と分解した後、
(解i), (解ii) に分数があれば、(x^2の係数) を上手く分配して
答えに分数が無い形にしておいたほうが良いでしょう。

例えば、6x^2 + 5x - 6 = 6(x - 2/3)(x + 3/2) は
「有理係数での因数分解」としては正解なのですが、その意味では、
6x^2 + 5x - 6 = 5(10x - 4/15)(3x + 9/2) だって正解です。
あまり、これを認める気にならないとは思います。

「整係数の因数分解」では 6x^2 + 5x - 6 = (3x - 2)(2x + 3)
が正解で、学校数学では、通常この答えを要求しています。
代数学本来の意味では、係数の範囲を指定しなければ、
「因数分解」という言葉の指すものが決まらないのですが。
そこは、中学・高校のローカルルールなので、出題者の意向に
沿うしかありません。

また、6x^2 + 5x - 6 = -(-3x + 2)(2x + 3) なども
「整係数の因数分解」として正解ですが、これも通常は書きません。
問題文に足りない言葉を補って、慣習に沿う答えを書くことも、
学生の処世術としては必要です。

処世術の続きとして、もうひとつ。
解の公式を使う方法で因数分解をしたときは、答案では
そのことには触れず、タスキガケに気づいたようなフリをして
書いておいたほうが無難です。
白鳥は、水掻きの使い方については多くを語らないものです。

No.2 回答者： under12 回答日時： 2011/05/22 10:45

解法に正解はない。

いかに、短時間で効率よく解を導き出すかである。
できもしないことにこだわるのは、試験勉強だとしても効率が悪い。

たすき掛けは、他の回答者の言うように慣れです。
試験寸前にどうこうしてできるようなことではない。
だって、いままでできなかったんだから。

ちなみに、10-20年前では、中学生の範囲なのだがねｗ

No.1 回答者： BookerL 回答日時： 2011/05/22 10:15

＞与式の解を２つとも求めて、　(x^2の係数){x-(解i)}{x-(解ii)}　の形にすれば良いのでしょうか？

　間違いとは言えないと思いますが、試験に出るような問題ではこの形にすると解が分数になったりすることが多いのではないでしょうか。先頭の　(x^2の係数)　をうまく分配して、各数字が整数になるようにしてやることが必要になると思います。

＜例＞　６ｘ^2 ＋ ５ｘ － ６

６ｘ^2 ＋ ５ｘ － ６ ＝ ０ より

ｘ＝2/3、－3/2

がえられますが、因数分解の結果として

６(ｘ － 2/3)(ｘ ＋ 3/2)

では正解とはされないと思います。最初の ６ を ３と２に分けて、それぞれの（　　）にかけて

(３ｘ － ２)(２ｘ ＋ ３)

とする必要があります。


＞たすき掛けの組み合わせに気づけないことがよくあります。

これは単に「慣れ」の問題です。練習問題をこなしていけばわかるようになるので、正攻法でがんばることをお勧めします。