電磁気の問題をいくつか

以下の問題を解いたのですが解らない点が多かったので私の回答と一緒に書きます。
間違っている点などありましたら訂正願います、また画像を張るのは初めてなので見づらいかもしれません

問1 図1のように、内円筒の半径a(m)、外円筒の半径b(m)の円軸円筒コンデンサがある。
　　 ただし両円筒の厚さは無視できるものとする。円筒間は誘電率ε(F/m)の均質な誘電体で
　　 満たされているとして以下の問いに答えよ。なお同軸円筒は無限長に近似できるとする

(1)　円軸円筒コンデンサの単位長さ当たりの静電容量C(F/m)を求めよ。

(2) 電極間の電位差の値がVであるとき円筒間の誘電体内における電場の強さE(V/m)をa,b,Vを
　　 用いて中心軸r(m)の関数で表せ。また、a<=r<=bにおいて電場の強さが最大になるrはいくらか

(3) 円筒間の誘電体内において、絶縁破壊を起こさない範囲で許される最大の電場の強さがEsで
　　 あるとき許される電極間の電位差の最大値Vsを求めよ

(4) 外円筒の半径bが決まっている時、(3)で得られたVsをaの関数と考え、Vs(a)の最大値と
　　 そのときのaを求めよ。

解答
(1) E=Q/4πεr^2 からab間の電位差を求め、Q=CVに代入し、C=4πεab/(b-a)
単位長さあたりなのでこれをrで割ったものが答えだと思いました

(2)以降は解りませんでした


問２　図２のように同一の平面内に十分に長い直線導線と辺の長さがa,b[m]の長方形コイルABCD
　　　 がおかれており、長さaの辺ABは導線に平行でそれからx[m]の距離にある。透磁率は
　　　 真空中と同様にμ0である

(1) 相互インダクタンスを求めよ

(2) 直線導線に、大きさがI1(t)=I0t[A]のように時間t[s]と共に増加する電流が上向きに流れるとき
　　長方形コイルに祐樹される起電力の大きさV(t)[V]と向きを求めよ

(3) 直線導線と長方形コイルABCDにそれぞれI1,I2[A]の直流電流を流した時に、導線と
　　長方形コイルの間に働く力の大きさF[N]を、直線導線に流れる電流I1によって生ずる磁束密度が
　　コイルABCDの各辺に及ぼす力を足し合わせることで求めよ。
　　ただし、直線導線と辺ABの電流の向きは同じとする。

解答
(1) 距離x離れた場所に電流Iが作る磁界Hは H=I/2πxなのでB=μH、φ=BS、φ=MIに代入していき
　　M=μ0ab/2πx

(2) V(t)=-M・dI1(t)/dt = -M・dI0t/dt =-MI0 であり向きは奥から手前方向

(3) 解けませんでした、ローレンツ力を使うのでしょうか?

問３
真空の誘電率をε0として以下の問いに答えよ

(1) 図3(1)のように半径a[m]の輪状に電荷+q[c]が一様に分布している時、円の中心を通り円が作る
　　平面に垂直な直線上における電場の向きと大きさE1をqを用いて
　　中心からの距離x[m]の関数として求めよ

(2) 図3(2)のように半径a[m],長さL[m]の中空の円筒状に電荷+Q[c]が一様に分布している時
　　円筒中心軸上の電場の向きと大きさE2[V/m]を円筒中央からの距離r[m]の関数として求めよ

解答
(1) E1=q/4πε(a^2+x^2) 上向き

(2) E2=q/4πε(a^2+r^2) 上向き　　自信がないです

以上です、解らなかったと書いた問題も考えたのですが上手く文章にできなかったため書きませんでした

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/08/24 22:37

問1

(1)
内側円筒に電位+V，外側円筒に電位0を与えると，内側円筒には円筒の軸方向の単位長さあたり+q，外側円筒には円筒の軸方向の単位長さあたり-qの電荷が現れるとする．

このとき，円筒の軸方向の長さがΔl，半径r (a ≦ r ≦ b)の円柱領域でガウスの法則を用いると，中心軸からrの位置での電場をE(r)として，

E(r)・2π r Δl = q Δl/ε
∴E(r) = q/(2π ε r).

V = -∫[b,a] E(r) dr
= {q/(2π ε)} ∫[a,b] dr/r
= {q/(2π ε)} ln(b/a)

∴q = {2π ε/ln(b/a)} V.

これは，このコンデンサの単位長さあたりの静電容量が
2π ε/ln(b/a)
であることに他ならない．

(2)
前問の式
E = q/(2π ε r),
q = {2π ε/ln(b/a)} V
からqを消去すると，
E = V/(r ln(b/a)).

これはrの単調減少関数なので，
a ≦ r ≦ bにおいてEが最大になるのは r = a のとき．

(3)
任意のrに対して
E(r) ≦ E(a) = V/(a ln(b/a)) ≦ Es
∴V ≦ Es a ln(b/a) = Vs.

(4)
Vs(a) = Es a ln(b/a) = Es a(ln b - ln a).

dVs(a)/da = Es ln(b/a) - Es.

dVs(a)/da = 0 となるのは a = b/e のときで，このときVs(a)は最大値
Vs(b/e) = Es b/e
をとる．


問2

(1)
直線導線に電流Iを流したとき，直線導線からの距離がrの位置の磁束密度は
B = μ0 I/(2π r).

このBと長方形コイルとの鎖交磁束は
Φ
= ∫B・dS
= ∫[x, x+b] B(r)・a dr
= {μ0 I a/(2π)} ∫[x, x+b] dr/r
= {μ0 I a/(2π)} ln(1 + b/x).

これは，相互インダクタンスが
M = {μ0/(2π)} a ln(1 + b/x)
であることに他ならない．

(2)
DCBADの向きを正の向きとして，誘導起電力は
e(t)
= -dΦ/dt
= -{μ0/(2π)} dI/dt a ln(1 + b/x)
= -{μ0/(2π)} I0 a ln(1 + b/x).

すなわち，誘導起電力の大きさは
V(t) = |e(t)| = {μ0/(2π)} I0 a ln(1 + b/x)，
向きはABCDAの向き．

(3)
磁束密度Bが電流Iに及ぼす力の大きさはは単位長さあたりI×Bです．

直線導線がつくる磁束密度
B1(r) = μ0 I1/(2π r)
が長方形コイルの各辺に及ぼす力を考えましょう．

辺BCに働く力と，辺DAに働く力は大きさが同じで向きが真逆であるため相殺されます．

辺ABに働く力
= I2 a×B1(x)
= μ0 I1 I2 a/(2π x).
向きは直線導線に向かう向き．

辺CDに働く力
= I2 a×B1(x+b)
= μ0 I1 I2 a/{2π(x + b)}.
向きは直線導線から遠ざかる向き．

したがって，長方形コイル全体に働く力の大きさは
F
= μ0 I1 I2 a/(2π) {1/x - 1/(x + b)}.

向きは直線導線に向かう向き．


問3

(1)
> 中心からの距離x[m]の関数として求めよ

とあるので，xは常に非負と考えます．

円周上の微小な長さ dl の電荷は
dq = q dl/(2π a).

このdqが問題の位置につくる電場の大きさは
dE = k dq/(x^2 + a^2).

# k = 1/(4π ε0).

dEの，円と垂直な成分dE1は次のように表される：
dE1 = dE x/√(x^2 + a^2).

したがって，
E1(x)
= ∫dE1
= ∫dE x/√(x^2 + a^2)
= k x/(x^2 + a^2)^(3/2) ∫dq
= k q x/(x^2 + a^2)^(3/2)
= {q/(4π ε0)} x/(x^2 + a^2)^(3/2).

向きは円に垂直で円から遠ざかる向き．

(2)
rの位置をx = 0として，座標xにある厚さdxの円環がrの位置につくる電場は，前問の結果より

dE2 = -{Q dx/(4π ε0 L)} x/(x^2 + a^2)^(3/2)

E2(r)
= ∫dE2
= -{Q/(4π ε0 L)} ∫[-L/2-r,L/2-r] x dx/(x^2 + a^2)^(3/2)
= {Q/(4π ε0 L)} [1/√{(L/2 - r)^2 + a^2} - 1/√{(L/2 + r)^2 + a^2}].

電場の向きは円筒中央からrの位置に向かう向き．

# 問3(2)は，系の対称性からr = 0のときE2 = 0となるはず．

# もっと詳しく説明したいのですが(特に問3)，言葉だけで説明するのは困難... 歯がゆいです．

この回答へのお礼

返事が遅れてしまい申し訳ありません、問3の(2)なのですがなぜdE2にはマイナスがつくのでしょう

お礼日時：2011/08/27 23:17

No.7 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/08/28 04:30

すみません．ANo.6の添付図が緑になってしまっているので，添付しなおします．

この回答へのお礼

親切にありがとうございます。

お礼日時：2011/08/28 13:09

No.6 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/08/28 04:27

> また問3(2)でdE2にLが入ったのが解らないのですがどのような計算過程なのでしょうか

添付図を参照してください．

No.5 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/08/28 04:10

> 問3において垂直成分を導出していますが　x/√(x^2+a^2)=sinθ　なので

> これをかけることで垂直成分が求められる、ということでしょうか

本質的にはそういうことです．

ただ，表記上の習慣の問題として，こういう，ある面に対するベクトルの法線成分を求める場合は，添付図のように角度θをとって，

dE1 = dE cos θ = dE x/√(x^2 + a^2)

と表すことが，世間では多いと思います．

# なんでsinではなくcosなのかというと，cosだと単位法線ベクトルnとベクトルdEとの内積として表現しやすいからだと思います：
dE1 = n・dE = dE cos θ.

No.4 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/08/28 00:21

> 問3の(2)なのですがなぜdE2にはマイナスがつくのでしょう

ここが文章で説明しづらいところなんです．

円筒の中心軸をx軸とし，普通だったら円筒の中央をx = 0とし，位置xにある円環が位置rにつくる電場を x = -L/2 ～ L/2 の範囲で積分する，という計算法をとるのでしょうけど，私はrの位置をx = 0として，x座標を設定しました．

で，(1)で求めた結果というのは，円環から見てxの位置につくる電場なのですが，この結果を(2)に用いると，私が設定したx座標において位置xにある円環が，円環から見て-xの位置，すなわちx = 0の位置につくる電場です．

ですから，ANo.1の問3 (2)の
dE2
というのは
(1)の結果の
E1(-x)
に相当するものなんです．

E1はxの奇関数になっているのでE1(-x)のマイナスは前に出てきますから，dE2にはマイナスがついているんです．

この回答へのお礼

解答ありがとうございます、積分範囲のとらえ方の問題でしたか
中央をx=0とした方でも計算してみます。

お聞きしたいのですが
問3において垂直成分を導出していますが　x/√(x^2+a^2)=sinθ　なので
これをかけることで垂直成分が求められる、ということでしょうか

また問3(2)でdE2にLが入ったのが解らないのですがどのような計算過程なのでしょうか

お礼日時：2011/08/28 01:04

No.3 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/08/24 23:15

ANo.1です．

問3 (1)の回答の冒頭に

> > 中心からの距離x[m]の関数として求めよ
>
> とあるので，xは常に非負と考えます．

とありますが，削除し忘れです．無視してください．すみません．

No.2 回答者： FT56F001 回答日時： 2011/08/24 22:39

たくさんあるので，問2だけ。

(1) a×bのコイルの中で，直線電流からの距離x'によって磁束密度が変るので，
積分しないといけません。

M=∫[x'=xからx+b] μ0 H dS/I = ∫[x'=xからx+b] μ0 I/(2πx') a dx' /I
= a μ0 /(2π) ∫[x'=xからx+b] 1/x' dx' = a μ0 ln((x+b)/x)/(2π)
lnは自然対数

>(2) V(t)=-M・dI1(t)/dt = -M・dI0t/dt =-MI0 であり向きは奥から手前方向
I1は時間の関数，I0は定数なので，
v(t) = -M・dI1(t)/dt = -M・I0 = -M・I0
とすべきです。
問題で問われているのは，「起電力の向き」なので，
「面積a×bのコイルを左回りの向き」です。

(3) ローレンツ力まで戻ってもいいですが，
実用的にはフレミングの左手の法則 F=Bilを使います。
辺BC，ADで生じる力は同じ大きさで上向きと下向きのため，キャンセルします。
辺ABで生じる力 = 右向きに B I2 a = μ0 I1/(2πx) I2 a
辺CDで生じる力 = 左向きに B I2 a = μ0 I1/(2π(x+b)) I2 a
コイルに働く右向きの力F=μ0 I1/(2πx) I2 a-μ0 I1/(2π(x+b)) I2 a
=μ0 I1 I2 ab/(2πx(x+b)) [N]

この回答へのお礼

解答ありがとうございます、確かに質問が多すぎましたね

お礼日時：2011/08/27 23:18