万有引力やクーロン力の逆二乗則は当たり前って？

最近、不思議な本に出会いました。読んで混乱しています。

それは、万有引力やクーロン力の逆二乗則（逆２乗法則）は不思議でもなんでもない、つまり当たり前なのだ（？）と結論している本です。
本のタイトルは『「余剰次元」と逆二乗則の破れ』で、著者は立教大学理学部の村田次郎という先生です。
著者は以下のような仮定をして結論づけていますが、力学や電磁気学が得意な方、以下の論法は正しいと思われますか？（つまり、球の表面積を考えると逆二乗則になって当たり前だという論法のようなのです）。

本の中では、クーロン力が作る電場について次の(1)(2)(3)の仮定をしています。

(1)電荷Ｑからは、その電荷量に比例するＮＱ本の電気力線が発生している。
(2)電気力線は等方的に空間に伝播する。
(3)空間は三次元空間だとする。

そして次の(4)の推論により、三次元空間では電場が逆二乗則になるのだと結論しています。

(4)電場の強さは電荷量に比例するのだから、電場の強さは電気力線の本数に比例する。よって、ある場所での電場の強さはその場所での電気力線の密度に比例するはずである。球面上での電気力線密度はＮＱ／４Πr＾２だから、それに比例する電場の強さはＥ＝ｋ・Ｑ／ｒ＾２と導ける。

・・・というのです。逆二乗則が「導ける」というのです！。私は、これはおかしいのではと思うのですがどうでしょうか？
それは、(1)(2)(3)の仮定の段階では電場の強さは分かっていないのであって、それを求めようとしているのだから、例えば逆ｎ乗則Ｅ＝ｋ・Ｑ／ｒ＾ｎとの考えで始めれば（ｎ＝1.99999とか2.00001とか３とかマイナスもあり）、(4)の推論の中の「電場の強さはその場所での電気力線の密度に比例するはずである」が逆ｎ乗則では崩れてしまい、つまり(4)の推論は最初から逆二乗則ありきの推論になってしまっていて普遍的ではなく、論理的におかしいように思うのです。
つまり(4)の推論は最初から逆二乗則であると決め付けているだけのものだと思うのです。電気力線密度は、仮定により逆ｎ乗則でも逆二乗則と同じですが、逆ｎ乗則ゆえ電場と比例関係にあるとは置けないはずです。

wikiなどのウェブサイトでも、このような論法で逆二乗則が導き出せるように見せているものがありますが、万有引力やクーロン力や光の逆二乗則は観測や実験によってその範囲内で言えるものだと思います。あくまでも観測・実験結果であって、「導き出せる」ものではないと思いますが、皆さんはどう思われますか？

今の理系の大学教授や高校の先生方は、「球の表面積が４Πｒ＾２だから、万有引力やクーロン力は逆二乗則（逆２乗法則）になって当たり前だ」・・・みたいな教え方をされているのでしょうか？

No.22 回答者： el156 回答日時： 2011/08/31 07:14

> あくまでも観測・実験結果であって、「導き出せる」ものではないと思いますが、皆さんはどう思われますか？

だけにお答えします。
マクスウエルの方程式や、ガウスの定理は、逆2乗則と数学的に結ばれています。だから、マクスウエルの方程式や、ガウスの定理が正しいとするならば、逆2乗則は「導き出せる」ものです。「マクスウエルの方程式、ガウスの定理、逆2乗則」は、電磁気学の理論体系のセットの一員で、これらが現実と一致しているかどうかは、実験や観測によって検証されなくてはなりません。もし逆2乗則が実験や観測と一致しないならマクスウエルの方程式や、ガウスの定理も現実と合わないことになります。これはあり得ない事とは言えません。歴史的には逆2乗則が一番古いのでしょうから、歴史的には逆2乗則は実験や観測によって発見された法則です。しかし私は、実験や観測によって確認されるべきものは電磁気学の理論の体系のセット全体であるべきだという立場です。両者は視点が違うだけで、大きな違いは無いと思います。

この回答へのお礼

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今後、ご回答者は、最初に「球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は不思議でもなんでもない（つまりは当たり前ということ）」というお立場なのかそうではないのか、またはそう教わったことがあるのかなど、できるだけご自分の立場を最初に明確にしてご回答して頂けたらありがたいです。
また、本筋から離れる一般論はなるべく避けて下さい。私の質問内容をよく読んで下さい。
大事なことなので繰り返しますが、私の質問内容をよく読んでから書き込んで下さい。
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ご回答ありがとうございます。
嫌味で上の書き込みを貼っているのではありません。他の人に見てもらうために貼っているので
お気を悪くしないで下さい。


あなたのお立場は分かりました。それで結構だと思います。
ただ、No.16への私の回答をあまり理解して頂いてないなあと思いました。
もう一度貼っておきます。

＞これは、他の物理学の法則でも言えると思います。物理法則を逆算すれば、もとの実験結果になるのは
＞当たり前であって、それを「導いた」なんて論文でも出したら笑われるだけではないでしょうか。
＞例えば、電気の交流理論とか過渡現象を逆算してインダクタンスやコンデンサーの存在またはオームの
＞法則を「導いた」なんて言い出せば、きっと笑われるだけでしょう。

そして、そもそもこの質問への回答にマクスウェルの電磁方程式が必要とも思えません。

お礼日時：2011/08/31 23:15

No.21 回答者： tgb 回答日時： 2011/08/30 20:28

先ず訂正から：

Ano.17の
命題５　Z[電場の強さ]はY'[電気力線の密度]に比例する(定理３、５からの推論)
は正しくは
命題５　Z[電場の強さ]はY'[電気力線の密度]に比例する(命題３、４からの推論)
です。


検討してみましたが、

(4)の電場の強さに関する部分を整理して再掲して
(4a)電場の強さは電荷量に比例する
(4b)電場の強さは電気力線の本数に比例する
(4c)電場の強さは電気力線の密度に比例する
とすると
仮定(1)のもとに
(4a)電場の強さは電荷量に比例する
(4c)電場の強さは電気力線の密度に比例する
の両者は等価(互いに他が導けるまたは入れ替えOK)です。
これまでの齟齬は
・4aから4bが導けるので4cは仮定になっていない(回答者)
・4cを無条件に仮定して逆２乗則を求めているので逆ｎ乗則とすれば4cは不成立(質問者)
ですが、どちらも言い分としては正しいと言うことになります。
つまり
引用本では
#a 仮定(1)(2)(3)で更に
「電場の強さは電荷量に比例する」を無条件に与え(仮定し)て
逆二乗則を導いたこと
※この仮定はクーロンの法則でｒに関する項を除いた実験的事実
になりますが
これは
#b 仮定(1)(2)(3)で更に
「電場の強さは電気力線の密度に比例する」を無条件に与え(仮定し)て
逆二乗則を導いたこと
と同じです。
私はこれまで実験事実として4aを大きく問題にしませんでしたが、
逆二乗則を導くための仮定として明示的に含めるのが正しいと思います。
つまり、
仮定(1)(2)(3)に
(4a)電場の強さは電荷量に比例する
(4c)電場の強さは電気力線の密度に比例する
のいずれかの仮定を加えて
逆２乗則は導かれています。


参考として、
電場の強さEと電気力線の密度Dの関係を一般化してE=f(D)としたとき、
他の条件を同じにして
E=f(ＮＱ／4πr^2)
fをベキ関数にすれば逆ｎ乗則が導けますが、同時にEが電荷のベキ関数になってしまいます。

また、逆に逆ｎ乗則を適用して電場の強さEと電気力線の密度のD関係を求めると
電場の強さEと電気力線の密度Dの関係に距離ｒが絡むようになってしまいます。つまり電荷からの距離によってEとDの関係が変化するようになってしまいます。

　今回の検討をしていて思いついたのですが、次のような例が考えられます。
今回の条件を全て同じとします(表面上)。
ところが、宇宙スケールで電場の強さを計ったら距離の小さい内は逆２乗則だが徐々に０乗則に近づき、更に距離を進めたら逆に大きくなりながら逆２乗則(原点を反転させた距離での)に戻り始めた。
何がおかしいのか、或いは仮定が誤っているのか？
その解決策の１つとして閉じた宇宙の４次元球を考えることができれば上の状況を説明できます。このとき変更する仮定は仮定(3)に関連するものですが今回の検討では顕在化しなかった空間の曲がりがあります。つまり今回の検討では暗黙の内にユークリッド空間を前提していたことになります。
※上の逆２乗則の漸近的変化は各距離で摂動的にｎ乗則で近似した場合に得られる話であって距離による正確な関数は別に存在します。

この回答へのお礼

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今後、ご回答者は、最初に「球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は不思議でもなんでもない（つまりは当たり前ということ）」というお立場なのかそうではないのか、またはそう教わったことがあるのかなど、できるだけご自分の立場を最初に明確にしてご回答して頂けたらありがたいです。
また、本筋から離れる一般論はなるべく避けて下さい。私の質問内容をよく読んで下さい。
大事なことなので繰り返しますが、私の質問内容をよく読んでから書き込んで下さい。
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ご回答ありがとうございます。
上の書き込みを貼っているのは、他の人に見てもらうために貼っているので
お気を悪くしないで下さい。


いろいろ検討されていて結構だと思います。
いろいろ書いて頂いて、労力されているのはありがたいですが、
ちょっと理解が難しいです。
「電場の強さは電荷量に比例する」の箇所は、質問を見て頂ければ分かりますが問題だとは思っていません。

結局、あなたのお立場はどちらなのでしょうか？
「球の表面積が４Πｒ＾２だから、万有引力やクーロン力は逆二乗則（逆２乗法則）になって当たり前だ」・・・なのでしょうか。そこがよく分かりません。


＞電場の強さEと電気力線の密度Dの関係を一般化してE=f(D)としたとき、
（以下略）

逆ｎ乗則の場合、電気力線密度は同じ仮定のもと逆ｎ乗則でも逆二乗則と同じですが、逆ｎ乗則ゆえ電場と比例関係にあるとは置けません。
あるいは逆ｎ乗則の場合、電気力線のあり方すなわち仮定を変更する方法もありますが、仮定を変更することは結論である逆ｎ乗則に持っていこうとしているだけの論法になりますから、当然逆ｎ乗則になって「当たり前」であって、物理的に逆ｎ乗則を「導いた」ことにはなりませんよね。

ありがとうございました。

お礼日時：2011/08/31 22:56

No.20 回答者： masa2211 回答日時： 2011/08/30 00:10

>(4)電場の強さは電荷量に比例するのだから、電場の強さは電気力線の本数に比例する。

よって、ある場所での電場の強さはその場所での電気力線の密度に比例するはずである。
この部分の推論は変。
まず、仮定(1)(2)(3)から、球面上の電気力線密度は逆二乗則であるということまでは推論に問題なし。そして、これで、逆二乗則の証明終わりとして良いと思います。
で、
＞電場の強さは電気力線の本数に比例する。　が、ダウト。　事実と異なる。
法則は、その場所での電気力線の密度に比例する、であって、電気力線の本数
には関係ありません。（本数と密度では、意味が全く違う。）
＞電場の強さは電荷量に比例する　これもダウト。
　電荷量のほかに距離も関係するので正しくない。やっぱり、電気力線の密度に比例する。
つまり、
＞電場の強さは電荷量に比例するのだから、電場の強さは電気力線の本数に比例する。
と仮定するなら、
ゆえに、ある場所での電場の強さはその場所での電気力線の密度に関係なく、発生源の電荷量で決まり、距離減衰しない。（＝逆ゼロ乗法則となる。）
というのが論理的な結論です。ただし、測定結果とまるで合いません。
※論理的に変かどうかについて、それ以前の仮定に矛盾するかしないかで決まり、
　現実の物理法則に整合しているかどうかは関係ないです。（仮定が間違っているから整合しないだけ。）
※※電場を考える場合、電場の強さは電気力線の密度に比例する（電気力線の本数に比例するわけではない）、という仮定の追加が本質的に不可欠。


あ、私の立場を書く必要あるわけね。
「球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は当たり前」の立場です。
電気力線の密度が逆二乗則になるのは球の表面積が４πｒ＾２
ということに対し、sorahamizuiroさんは無反応だから。
もう１つ。逆二乗則の言いだしっぺはケプラー（光量の逆二乗）で、当時は
光量を測定する方法が無かったわけで、推論で割り出したのちに実験が追いついたことが歴史的に確定しているから。

あと、元の仮定で、
(3)空間は三次元空間だとする。
が、どうやら２とおりに解釈できると思うけど....
解釈の1.　１次元、２次元の排除。
　たとえば、電波は３次元、津波（震源は点とみなす。）は２次元、
　上陸した津波は１次元　といった意味での３次元。
　勿論、２次元は逆１乗、１次元は逆０乗（距離減衰なし）を意味します。
　この意味において、３次元＝逆０乗　と、著者はいいたかった（本数と密度の違いなぞどうでもいいこと。）
　と考えるほうが、私には本命。

解釈の2.　相対性理論（空間の曲がり）対策。
三次元直交空間の意味に解釈し、空間が曲率を持った場合を排除する。
こちらは、2.00001乗みたいなものの排除に該当します。
あくまで、こちらは別解。2.00001乗のようなものは、よほどの精密データが無い限り判別不能。
実験に誤差がありたまたま2.00001乗になった、と考えます。

この回答へのお礼

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今後、ご回答者は、最初に「球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は不思議でもなんでもない（つまりは当たり前ということ）」というお立場なのかそうではないのか、またはそう教わったことがあるのかなど、できるだけご自分の立場を最初に明確にしてご回答して頂けたらありがたいです。
また、本筋から離れる一般論はなるべく避けて下さい。私の質問内容をよく読んで下さい。
大事なことなので繰り返しますが、私の質問内容をよく読んでから書き込んで下さい。
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ご回答ありがとうございます。
上の書き込みを貼っているのは、他の人に見てもらうために貼っているので
お気を悪くしないで下さい。


＞この部分の推論は変。

そう、私も変だ思っています。質問で書いたとおりです。


＞まず、仮定(1)(2)(3)から、球面上の電気力線密度は逆二乗則であるということまでは推論に問題な
＞し。

問題ないですね。これも質問をよく読んで頂ければ読み取って頂けると思います。
あくまで「電気力線密度は」ですよね。


＞そして、これで、逆二乗則の証明終わりとして良いと思います。

ここは、まったく理解できません。「これで」、終わりにして良いとは思えませんが。


＞電場の強さは電気力線の本数に比例する。　が、ダウト。

ここは、よくよく考えればあなたのおっしゃるようにダウトかもしれませんね。ただ、この部分は本の原文通りですので、念のため。
もともと、電気力線を仮定すると、それはゼロのような細さの無限本数の線をイメージしなければならないため、つまりそんなものは本当はイメージしがたいのだ・・・と思っています。


＞法則は、その場所での電気力線の密度に比例する、であって、

それがおかしいのでは・・・と私は質問しているのですが。逆ｎ乗則ではそうは置けないはずです。
もう一度質問を読んで下さい。


＞電場の強さは電荷量に比例する　これもダウト。

これは問題にはしていません。というか、これはダウトではないでしょう。
よって、あとのご回答は理解できません。


＞「球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は当たり前」の立場です。

お立場は分かりました。結構だと思います。


＞電気力線の密度が逆二乗則になるのは球の表面積が４πｒ＾２
＞ということに対し、sorahamizuiroさんは無反応だから。

私は質問の中で「電気力線密度は、仮定により逆ｎ乗則でも逆二乗則と同じですが、」と書いています。
つまり、仮定のもとで球面上での電気力線密度はＮＱ／４Πr＾２は当然ながら認めています。無反応ではありません。


＞あくまで、こちらは別解。2.00001乗のようなものは、よほどの精密データが無い限り判別不能。
＞実験に誤差がありたまたま2.00001乗になった、と考えます。

逆二乗則は当たり前だというお立場ならそうでしょうね。
ありがとうございました。

眠たくなってきていますので、間違いがあったらお許し下さい。

お礼日時：2011/08/30 02:53

No.19 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2011/08/29 22:06

　もちろん逆2乗則は、経験事実だと教わりました。

また問題の本は、読んでいないし、現在読む予定もないので、その本の内容は、Ａｍａｚｏｎで調べた程度という事を、最初にお断りしておきます。また過去の回答履歴の全てに目を通してはいません。

　あなたの仰る通り、(1)(2)(3)と(4)は数学的に同値なだけであって、だから「逆2乗則が現実に成り立っている」とは、明らかに「言えません」。でもこの論法は、良く目にします。
　それは(1)(2)の仮定が「自然に思える」からだと思います。つまり(1)(2)を認めれば、電荷も磁荷も（標準理論ではありませんけど）、質点の発する場も、その挙動を、「空間の次元に関連付けて」逆2乗則で理解できるからだ、という気がします。

　ただし、それが本当かどうかは、誰も確認していないし実証していません。それを実証してみようじゃないか！、というのが、この本の趣旨なのかな？というのが、Ａｍａｚｏｎの書評を読んで持った印象です。

　そこで引っかかったのが、

＞「あっさりと導けてしまった」、「不思議でもなんでもない」、「この二乗は、球の表面積の公式から来ている」、「筆者がかつて抱いた大切な謎は、こうしてあっさりと解決してしまったようだ」、「逆二乗則の部分はこれで解決した」。

という#15さんへのお礼の一部です。

　このような記述は、いわゆるトンデモ系と呼ばれる本でよく見る断定口調です。しかしＡｍａｚｏｎの書評を読む限りでは、村田先生は、そんな人ではないような印象を受けました（実際には、全く知りませんけど）。そこで想像なのですが、「あっさりと導けてしまった」～「逆二乗則の部分はこれで解決した」の部分は、村田氏の過去の（幼い頃の）体験談として、書かれていなかっただろうか？、という事です。つまり、

　　「(1)(2)(3)を認めれば(4)は（逆2乗は）必然だから、それを確認してみようじゃないか！」という、著者の問題意識を明確化（強調）するためにです。

　もう一言いえば、ひどい言い方ですが、これはブルーバックスならではの表現だと思います。上記を強調するためにです。恐らく村田氏は、「数学的に、(1)(2)(3)　⇔　(4)になるだけだ」、という事を百も承知で、こういう書き方をした気がします。

この回答へのお礼

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今後、ご回答者は、最初に「球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は不思議でもなんでもない（つまりは当たり前ということ）」というお立場なのかそうではないのか、またはそう教わったことがあるのかなど、できるだけご自分の立場を最初に明確にしてご回答して頂けたらありがたいです。
また、本筋から離れる一般論はなるべく避けて下さい。私の質問内容をよく読んで下さい。
大事なことなので繰り返しますが、私の質問内容をよく読んでから書き込んで下さい。
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ご回答ありがとうございます。
上の書き込みを貼っているのは、他の人に見てもらうために貼っているので
お気を悪くしないで下さい。


あなたに感動しました。
私の質問内容をよく読んでおられ、そしてよく分かっておられます。敬意を表します。
大事なことなので二度言いますが、あなたのご回答には感動しました。

＞過去の回答履歴の全てに目を通してはいません。

肝心なところはちゃんと見られているなあと思いました。


＞あなたの仰る通り、(1)(2)(3)と(4)は数学的に同値なだけであって、だから「逆2乗則が現実に成り
＞立っている」とは、明らかに「言えません」。でもこの論法は、良く目にします。

ふむふむ、そのとおりだと私も思っています。
良く目にするのですか。これもいい情報です。ありがとうございます。


＞ただし、それが本当かどうかは、誰も確認していないし実証していません。それを実証してみようじゃ
＞ないか！、というのが、この本の趣旨なのかな？というのが、Ａｍａｚｏｎの書評を読んで持った印象
＞です。

まさにそうだと思います。この著者は装置を作って研究・実験されていて、そのことを本の中で書かれています。研究自体は素晴らしいものだと思っています。だから私はこの本を買いました。


＞書評を読む限りでは、村田先生は、そんな人ではないような印象を受けました

本を読む限りでは、大変知見の広い方で、かつ聡明な方だと思います。この本は大変勉強になりました。
ツイッターもやっておられるので（jiromurata）つぶやいてみたのですが・・・あとは省略させて頂きます。


＞村田氏の過去の（幼い頃の）体験談として、書かれていなかっただろうか？

本の終わりのほうに参考文献として、リサ・ランドールの本をあげておられます。私もリサ・ランドールは読んだことがあり、ひも理論のその本にもこの論法が出てきたのを記憶しています。これは私の想像ですが、その影響を受けられたのでは？・・・と思っています。私の勝手な想像です。


＞「(1)(2)(3)を認めれば(4)は（逆2乗は）必然だから、それを確認してみようじゃないか！」とい
＞う、著者の問題意識を明確化（強調）するためにです。

実際にやっておられる研究・実験は、まあそういうことなのかなあ？・・・と思います。


＞恐らく村田氏は、「数学的に、(1)(2)(3)　⇔　(4)になるだけだ」、という事を百も承知で、こうい
＞う書き方をした気がします。

ここが、私の感触では違ってくるのです。私の読み取り方では、著者はやはりこの質問の論法を基礎にして一般のｎ次元場へと話を進めていっている・・・と思います。つまり、大いなる勘違いをされているのでは・・・と思っています。これは私個人の思いですので念のため。
実際にこの本を買って読んで頂いたほうがいいと思います。本の内容をあまりさらすのは著作権の問題もあると思いますので。
ただ、あなたの人を擁護する紳士的な考え方には感服します。いい方ですね、あなたは。


＞これはブルーバックスならではの表現だと思います。

笑いました。これはどこかで使わせてもらいます。おもしろい（笑）
どうもありがとうございました。

お礼日時：2011/08/30 01:50

No.18 回答者： chiha2525 回答日時： 2011/08/29 10:01

sorahamizuiroさんの言われているとおり、実験や観測によって得られた知識から逆二乗則が導かれています。

本の著者が言いたいのはおそらく、これら逆二乗則が、球の半径と表面積の関係を考えると（保存則から）当然のごとく説明できる、ということでしょう。

ところが近年、ダークマターやダークエネルギーといったものを仮定しないと、重力の逆二乗則がなりたたないという、天文物理学からの観測結果があがってきているにもかかわらず、長年それらが見つからないことから、本当にダークマターやダークエネルギーが存在するのか、それとも逆二乗則に誤りがあるのか、という話になってきています。
読まれた本は、そういった流れから、逆二乗則で知られている法則が本当にそうなのか？という事が書かれた本ではなかろうかと思います。

この回答へのお礼

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今後、ご回答者は、最初に「球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は不思議でもなんでもない（つまりは当たり前ということ）」というお立場なのかそうではないのか、またはそう教わったことがあるのかなど、できるだけご自分の立場を最初に明確にしてご回答して頂けたらありがたいです。
また、本筋から離れる一般論はなるべく避けて下さい。私の質問内容をよく読んで下さい。
大事なことなので繰り返しますが、私の質問内容をよく読んでから書き込んで下さい。
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ご回答ありがとうございます。
上の書き込みを貼っているのは、他の人に見てもらうために貼っているので
お気を悪くしないで下さい。


＞実験や観測によって得られた知識から逆二乗則が導かれています。

そうですよね。私もそう思っています。


＞本の著者が言いたいのはおそらく、これら逆二乗則が、球の半径と表面積の関係を考えると（保存則か
＞ら）当然のごとく説明できる、ということでしょう。

著者は、そういうような大きな勘違いをしているのではないかと私は思っています。
ところで、あなたのいう保存則とは何なのでしょうか。
エネルギー保存則なら、中心力である逆ｎ乗則でも成り立つと思います。Ｅ＝ｋ・Ｑ／ｒ＾ｎとして、
これをベクトルに直すと、位置ベクトルをｒとしてＥ＝ｋ・Ｑ・ｒ／|ｒ|＾（ｎ＋１）と表せ、
これのベクトル演算のrot（ローテーション）を演算するとrotＥ＝０となることから
ポテンシャルエネルギーが定義でき、すなわちエネルギーは逆ｎ乗則でも保存されると思います。


＞ところが近年、ダークマターやダークエネルギーといったものを仮定しないと、重力の逆二乗則がなり
＞たたないという、天文物理学からの観測結果があがってきているにもかかわらず、長年それらが見つか
＞らないことから、本当にダークマターやダークエネルギーが存在するのか、それとも逆二乗則に誤りが
＞あるのか、という話になってきています。

おもしろい話ですよね。そういう話は私も好きです。
そういう話が好きなので、この著者の本（つまり逆二乗則は破れているのではないかというスタンス）を買ったのです。
蛇足になりますが、宇宙に対する観測結果も相対性理論（重力を含んでいる）などを根拠に計算していますから、根本的にそれらが何かおかしいのかもしれませんね。理論がおかしいのかもしれません。

ダークマターについては、無数にある恒星から逸脱した地球から観測できない無数の惑星（浮遊惑星）などが関与しているかもしれないという話が最近あったような気がします。
しかし、ダークマターについてもダークエネルギーについても、私は？？？です。宇宙論は次々と説明できない観測結果が出てきていますので、ほとんど信用していません。相対性理論についても同じです。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2011/08/29 19:56

No.17 回答者： tgb 回答日時： 2011/08/28 23:24

>著者のように「電場の強さはその場所での電気力線の密度に比例するはずである」と最初から置くことは、逆二乗則であるということと数学的に等価であり、逆二乗則、つまり物理法則である逆二乗則を導出していることにはちっともならない・・・と思っています

->
そうではなく、著者の言うことは正しいと言うこれまでの説明が全く無視されているようです。

念のためANo.9で示した内容に少し変更を加えたもの(実質は全く同一)を再掲します。
X＝電荷量
Y＝電気力線の総本数
Y'＝電気力線の密度
Z＝電場の強さ
とするとき、
命題１　Y[電気力線の総本数]はX[電荷量]に比例する(仮定(1)による)
命題２　Y'[電気力線の密度]はY[電気力線の総本数]に比例する(一般的な常識の範囲で推論)
命題３　Y'[電気力線の密度]はX[電荷量]に比例する(命題１、２からの推論)
命題４　Z[電場の強さ]はX[電荷量]に比例する(実験による確認)
命題５　Z[電場の強さ]はY'[電気力線の密度]に比例する(定理３、５からの推論)

命題５がその成立の成否を質問者さんが問題にしているものですが、ことばの問題を除けば恐らく小学生でも理解できるような推論の連鎖で、命題１から命題５までを順に導いています。
要するに
Y'はYに比例しYはXに比例するのだからY'はXに比例する
Y'はXに比例しZはXに比例するのだからZはY'に比例する
と言っており、当たり前のことです。

また、この過程で逆２乗則はいっさい関係していません。関係するのは全て物理量間の比例関係についての推論のみです。仮定(1)から比例関係のみの簡単な議論で電場の強さが電気力線の密度に比例する事を導いているのです。

逆２乗則が顔を出すのは
「球面上での電気力線密度はＮＱ／４Πr＾２である」
とする部分のみです。電荷から出た電気力線(総数ＮＱ)がその電荷を囲む球面から均等に外に突き出すことを数学的に考察することにより1/r＾2が出てくるのです。要するに1/r＾2とは３次元(３次元球の２次元球面)と言う仮定に基づいて数学的な計算から得られるものなのです。

　以上の議論は用語の理解を除いた本質的な部分を考えれば恐らく中学生でも理解できる議論です。

　ここで注意しておきますが、この議論の重要な点は
「逆２乗則そのものが真である」と言うことではなく
「３つの仮定が正しいなら逆２乗則は当たり前」であると言うことです。
これまでこのことは大前提と考えていましたが、この違いが理解できないと議論をする資格はないでしょう。
　逆２乗則そのものが正しいかどうかは仮定が正しいか否かに依存します。吟味の上仮定が妥当であるとした上で結論(逆２乗則)も妥当であろうとするのです。



　MONDの「逆一乗（反比例）」の話を持ち出してこれを見て逆２乗則一辺倒から抜け出せと言わんばかりにされると、その辺が理解されているのかどうか心許なくなります。
　MONDの話は銀河レベルのスケールの恒星の運動をうまく説明するための仮定すべき事項が新しく発案されたと言うことであり、小スケールで逆２乗則、大スケールで逆一乗則と言う２足のわらじを履き、更にはニュートンの運動の法則の修正まで行うために、既存の確立された原理との折り合いをつけるのに多くの苦労が横たわると考えられる代物です。
　このような考えも頭から否定はできませんが、今回の質問の内容とは直接的な関係はないでしょう。質問者がこのような問題に関心を持たれて考えるのはいいことですが、そのためには今回の質問のような問題で仮定と推論と結論の関係をもう少し理解する必要があります。高校生レベルの議論に「煙にまくような」などと言わずどこどこがおかしいときちんと指摘したら如何ですか。MONDのような問題では、何を仮定しているのか、どの仮定を修正しているのか、それから得られる結論が既存のものとどう異なるのか、それに基づいてどう仮定を修正したら望んでいるいる結論に近づけられるのかと言った様々な思考が求められます。逆ｎ乗則一辺倒であることを棚に上げて相手の逆２乗則一辺倒を笑っている暇はありません。

この回答へのお礼

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今後、ご回答者は、最初に「球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は不思議でもなんでもない（つまりは当たり前ということ）」というお立場なのかそうではないのか、またはそう教わったことがあるのかなど、できるだけご自分の立場を最初に明確にしてご回答して頂けたらありがたいです。
また、本筋から離れる一般論はなるべく避けて下さい。私の質問内容をよく読んで下さい。
大事なことなので繰り返しますが、私の質問内容をよく読んでから書き込んで下さい。
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ご回答ありがとうございます。
ただ、また無意味な長文を書き込まれていますね。
一つの反例としてあげた逆ｎ乗則について、あなたは何も考えておられないようです。

それと、逆一乗則については「蛇足」と書いたではありませんか。「蛇足」の意味を検索して下さい。
そんなあなたには、もう一度これを貼っておきます。少し頭を冷やして下さい＾＾

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今後、ご回答者は、最初に「球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は不思議でもなんでもない（つまりは当たり前ということ）」というお立場なのかそうではないのか、またはそう教わったことがあるのかなど、できるだけご自分の立場を最初に明確にしてご回答して頂けたらありがたいです。
また、本筋から離れる一般論はなるべく避けて下さい。私の質問内容をよく読んで下さい。
大事なことなので繰り返しますが、私の質問内容をよく読んでから書き込んで下さい。
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お礼日時：2011/08/29 00:12

No.16 回答者： el156 回答日時： 2011/08/28 22:19

No.15の追加質問にお答えします。

逆二乗則は定義から出発している数学的に当たり前の帰結だから、逆二乗則はあたりまえです。これが私の答えだと思って頂いてもかまいません。本の著者の方の考え方と同じかどうかは私にはわかりませんが、最初のご質問の(1)(2)(3)(4)とは整合していると考えています。
ＤやＥや電荷密度とは何なのかを現実の物理とどうやって物理学とひも付けるのかというご質問は、シンボルグラウンディング問題に類するご質問と理解しました。答えは数式が予測するＤ、Ｅ、電荷密度の相互関係と一致するような相互関係を観察や実験で認識する事によっていると思います。余剰次元の話は私にはわかりませんので残念ながらお答えできません。多分前提の(3)に違反するのだと思いますが。

蛇足ですが、私のNo.15の回答は、私のNo.11の真ん中の回答と同じです。

この回答へのお礼

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今後、ご回答者は、最初に「球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は不思議でもなんでもない（つまりは当たり前ということ）」というお立場なのかそうではないのか、またはそう教わったことがあるのかなど、できるだけご自分の立場を最初に明確にしてご回答して頂けたらありがたいです。
また、本筋から離れる一般論はなるべく避けて下さい。私の質問内容をよく読んで下さい。
大事なことなので繰り返しますが、私の質問内容をよく読んでから書き込んで下さい。
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ご回答ありがとうございます。
嫌味で上の書き込みを貼っているのではありません。他の人に見てもらうために貼っているので
お気を悪くしないで下さい。

あなたのお立場はだいたい分かりました。結構だと思います。
失礼な言い方ですが、あなたはきっと聡明な方だと思います。

私の考えは、歴史的に「いろいろな実験結果」によって「電磁方程式は確立された」ものであって、
それを逆算して「確立された電磁方程式」から「いろいろな実験結果」が得られるというのは、純粋に数学的に極めて当たり前のことであって、それらは決して「導いた」とは言えない・・・ということです。

これは、他の物理学の法則でも言えると思います。物理法則を逆算すれば、もとの実験結果になるのは当たり前であって、それを「導いた」なんて論文でも出したら笑われるだけではないでしょうか。
例えば、電気の交流理論とか過渡現象を逆算してインダクタンスやコンデンサーの存在またはオームの法則を「導いた」なんて言い出せば、きっと笑われるだけでしょう。

＞最初のご質問の(1)(2)(3)(4)とは整合していると考えています。

私の質問の中で、私が逆ｎ乗則を持ち出すのがおかしいということでしょうか。
整合の意味がよく分かりません。

しかし、ご回答はもう結構です（ご自由ですが）。
あなたのお立場は、だいたい何となくですが分かりましたので。
ご回答されるなら、もう一度質問内容をよく見て頂いて、本筋からなるべく離れないようにお願いしたいです。

私は分からないことだらけです。
なぜ生きてるのか、宇宙は何なのか、分からないことだらけです。
自分が絶対正しいとは思っていません。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2011/08/29 00:00

No.15 回答者： el156 回答日時： 2011/08/28 18:46

No.14の追加質問にお答えします。

逆二乗則が不思議でもなんでもない理由は、電束密度(D)の源(div)は電荷密度(ρ)だからです。
積分形で言えば、平曲面を通過する電束の合計がその中の電荷で、そうやって電荷と電束は互いを定義しているからです。
そして電界は、少なくとも真空中では、電束密度(D)に比例係数ε0を掛けたものと定義されるからです。

この回答へのお礼

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今後、ご回答者は、最初に「球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は不思議でもなんでもない（つまりは当たり前ということ）」というお立場なのかそうではないのか、またはそう教わったことがあるのかなど、できるだけご自分の立場を最初に明確にしてご回答して頂けたらありがたいです。
また、本筋から離れる一般論はなるべく避けて下さい。私の質問内容をよく読んで下さい。
大事なことなので繰り返しますが、私の質問内容をよく読んでから書き込んで下さい。
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ご回答ありがとうございます。

＞逆二乗則が不思議でもなんでもない理由は、電束密度(D)の源(div)は電荷密度(ρ)だからです。
＞積分形で言えば、平曲面を通過する電束の合計がその中の電荷で、そうやって電荷と電束は互いを定義
＞しているからです。

今回は良い回答を頂きました。つまり、あなたがおっしゃる「定義しているから」という箇所です。
電磁方程式を根本法則とするなら、まさしくあなたのおっしゃるとおり「定義しているから」ということになりますよね。しかし、それはあくまでも「定義」なのです。

あなたがどこまで理解されているのか知りませんが、
そのdivＤを体積分して面積分に直して（ガウスの定理）、単独電荷に球面上で面積分を適用すれば対称性から、
Ｄ・４Πｒ＾２　＝　Ｑ
となり、Ｅ　＝　１／４Πεｒ＾２
となります。しかしこれは「定義」から出発している数学的に当たり前の帰結であって、そこに物理学はありません。最初に電磁方程式を根本原理として出発するとき、そのＤやＥや電荷密度とは何なのか、どうやって物理学とひも付けるのでしょうか、よくお考え下さい。

繰り返しますが私の質問をよく読んで下さい。
著者は、単に(1)(2)(3)の仮定と(4)の推論により電場の強さを「導けた」と言っているのです。著者は「よって、ある場所での電場の強さはその場所での電気力線の密度に比例するはずである。」という推論によって「導けた」と言っているのです。
本ではこう書いています。「あっさりと導けてしまった」、「不思議でもなんでもない」、「この二乗は、球の表面積の公式から来ている」、「筆者がかつて抱いた大切な謎は、こうしてあっさりと解決してしまったようだ」、「逆二乗則の部分はこれで解決した」。

この反例として逆ｎ乗則をあげれば「ある場所での電場の強さはその場所での電気力線の密度に比例するはずである。」は崩れてしまいます。つまり、(4)の推論は間違っていて、この論法はおかしい・・・と私は思っております。

そして、もともとこの本は、電場と同じように導ける逆二乗則である重力は、あるスケールでは「余剰次元」があるのではないか、逆二乗則ではないのではないか・・・というスタンスの本なのです。
つまり、私はこの点でも論理がおかしいのでは・・・と思っております。

お礼日時：2011/08/28 20:25

No.14 回答者： el156 回答日時： 2011/08/28 16:58

No.13のご質問にお答えします。

球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は不思議でもなんでもありません。
どのように教わったのかはNo.13に記した通りですが、電磁気は高校までに教わっている訳で、大学で教わった事は電磁方程式からの再出発と言えます。
クーロン力の逆二乗則は導き出せるものだと思います。観測や実験結果はこれを導き出した理論が現実と合っているかどうかを検証する為に必要なことです。

この回答へのお礼

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今後、ご回答者は、最初に「球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は不思議でもなんでもない（つまりは当たり前ということ）」というお立場なのかそうではないのか、またはそう教わったことがあるのかなど、できるだけご自分の立場を最初に明確にしてご回答して頂けたらありがたいです。
また、本筋から離れる一般論はなるべく避けて下さい。私の質問内容をよく読んで下さい。
大事なことなので繰り返しますが、私の質問内容をよく読んでから書き込んで下さい。
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ご回答ありがとうございました。
お立場は分かりました。

＞球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は不思議でもなんでもありません。

これの理由が書かれていないのが残念です。やはり、私の質問をもう一度よく読んで下さい。

＞電磁気は高校までに教わっている訳で

凄い高校ですね。解析学とか交えて本格的に教えるのは大学からだと思いますが。

お礼日時：2011/08/28 17:58

No.13 回答者： el156 回答日時： 2011/08/28 11:39

No.11の追加質問にお答えします。

> あなたは、いきなりマクスウェルの電磁方程式から教わったということでしょうか。
> 教科書の始めに根本法則として電磁方程式があって、そこからクーロン力を導出するような教わり方だったというのでしょうか。

もちろん、高校の物理でマクスウェルを教わったという意味ではありませんが、大学ではそうだったかもしれません。何かの法則からマクスウエルの式を導出するというように教わったのではなくて、最初に根本法則としてマクスウエルがあって、そこから(既に知っている)他の電磁気学の法則を導出するように教わりました。教わった私は確かにそれが正しい順序だと納得しましたし、皆さんもそうやって勉強されたと思っておりました。
私が、マクスウエルの方程式で電荷や電界を定義することが順当だと思うとした理由は、以上です。

規約上この場で議論することはできないので深入りは避けますが、電荷や電界が歴史的に最初にどう認識されたかと、現在の定義とは違うと思います。重力については良く知りませんが、多分重力も同様ではないかと思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
あなたの書いておられる内容は、是非は別として理解しました。
ただ、そういう教え方が本当にあるのだとしたら、かなり難解な教え方だと思います。
私は何人もの先生や教授に教わりましたが、電磁方程式から始めるような教え方に遭遇したことはありませんでした。
歴史的には、いろいろな実験結果を積み上げたものの上に、物理法則として最終的に電磁方程式にたどり着いたのです。
何も知らない人が、いきなり電磁方程式を見て直感的に物理学として理解できるでしょうか・・・ということです。
最初に電磁方程式ありきと考えることができる人は、歴史的な実験結果をステップアップしていって理解していき、すでに電磁方程式にいたる過程を知っているから、逆に電磁方程式から再出発できるのではないのでしょうか。


今後の回答としては、以下のことを期待します（■■■■■■で囲んだ部分）。
もちろん、著者と同じで、つまり私がおかしいという意見でも結構です。それは当然です。ただ、質問からの逸脱が激しいと思われるものや、意味不明と思われるものについては、ちゃんとした回答はできかねます（ネットには、煙にまくような話をし出して不都合なことを消そうとする工作員もいますから）。

また、この著者のような考え方をしている人、教わったことがある人がどれぐらいいるのか、それを知ることにも意味があるのです（質問をよく読んだ上でという条件ですが）

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今後、ご回答者は、最初に「球の表面積が４πｒ＾２だから、逆二乗則は不思議でもなんでもない（つまりは当たり前ということ）」というお立場なのかそうではないのか、またはそう教わったことがあるのかなど、できるだけご自分の立場を最初に明確にしてご回答して頂けたらありがたいです。
また、本筋から離れる一般論はなるべく避けて下さい。私の質問内容をよく読んで下さい。
大事なことなので繰り返しますが、私の質問内容をよく読んでから書き込んで下さい。
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お礼日時：2011/08/28 16:13