2010年、津田塾大の問題です。
原点を中心とする単位円のy≧0の部分をCとし、2点A(-1,√3)とB(3,√3)を考える。点Pが曲線C上を動くとき、
APの2乗+BPの2乗
が最小となるようなPの座標を求めよ。
という問題なのですが、ヒントとして、線分ABの中点をMとすると,△ABPにおいて中線定理により
APの2乗+BPの2乗
=2(PMの2乗+AMの2乗)
=2(PMの2乗+4)
を利用するようなのですが、全くわかりません;
どなたかわかりませんか…?教えてください><
※すみませんが、累乗を携帯でどう表すのか分からなかったで「~の2乗」と 表しました。読みにくくてすみません!m(__)m
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
率直に言えば…図をきちんと書いてみると一目瞭然ですよ。
・恐らく大学側としては解法の第一歩として…
「AP^2+BP^2」という形から→中線定理(パップスの定理)を使うのかな?…に気付くかどうかが狙いなのでしょうね。
だから、一度「中線定理」を図と共に確認しておくことが望ましいと思います^^。
続きとしては…
2点A(-1,√3)とB(3,√3)から点Mの座標は(1,√3)ですね。(*直線ABはx軸に平行のため)
点P(a, b)としてもいいのですが…
この問題のように円周上の点である場面では、P(OPcosθ,OPsinθ)といった置き方の方が何かと便利な場面が多いですよ^^A。
*ただし、この場合「制限範囲」が付くことが多いので気を付けてくださいね。
*ここでは、問題文から「0≦θ≦π」という「制限範囲」が付きます。
その上、今回の場合は「単位円」ということなので…OP=半径=1 ですから尚更都合がよさそうですね^^A。
ということで、全ての点の配属は決定しましたね^^
A(-1,√3)
B(3,√3)
M(1,√3)
P(cosθ,sinθ) (0≦θ≦π)
…後は、先程の「中線定理」を使って具体化してみます。
…三角関数の合成などを使ったりしてください。
この辺りから自力でもできるような気がします^^A。
最後まで解いてみましたが、最終的にθ=π/3のとき最小となると思いますよ。
θが出たなら…点Pの座標はもうお分かりでしょうから。
分かりやすく解説してくださり、ありがとうございました!!
おかげで解答のP(1/2,√3/2)まできちんとたどり着けました(;-;)感謝します。
やっぱり、図は大事ですね(^_^;)
No.2
- 回答日時:
APの2乗+BPの2乗と2(PMの2乗+4)が同じなので、
APの2乗+BPの2乗を最小にするには、
2(PMの2乗+4)を最小にすればよいという事になります。
2(PMの2乗+4)の式を眺めると、
PMの2乗が最小になれば2(PMの2乗+4)全体が最小になるのが分かりますよね。
なのでPMの2乗を最小にする事を考えます。
点Pは原点中心の単位円上の座標なので(cosθ, sinθ)とおけますよね。
点Mの座標は、線分ABの中点なので(1, √3)です。
そうすると三平方の定理より
PMの2乗 = (1 - cosθ)の2乗 + (√3 - sinθ)の2乗
となります。
後はこの式を展開して整理し、最小値を考えてみましょう。
途中現れる-2cosθ-2√3sinθに戸惑うかもしれませんが、
これに関しては「三角関数の合成」の公式をあてはめて1つのsinにしてしまいましょう。
そうするとPMの2乗は定数とsin1個の式になります。
定数部分は値を小さくすることができないので、PMの2乗を最小にするためには
sinの部分を最小にすれば良い事になります。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 AB=2である2定点A、Bに対して、条件AP²-BP²=1を満たす点Pの軌跡を求めよ。という問題です 1 2023/02/25 15:14
- 数学 数学 2次関数 1 2023/05/10 21:45
- 中学校 中1数学 比例のグラフの座標の読み取り 4 2023/03/28 12:26
- 中学校 OA=OB=OC=AB=AC=1、 ∠BOC=90°となる四面体OABCの 辺OA上に点DをOD:D 4 2022/10/11 10:07
- その他(悩み相談・人生相談) 数学IIの問題で、 2点(5.0)(-3.0)に対して、距離APが距離BPの3倍である点Pの軌跡を求 3 2023/05/04 11:45
- 数学 ベクトル方程式(ヘッセの標準形)についての質問 2 2022/04/23 18:00
- 大学・短大 【線形代数について質問です】 点P(2.-1)を点Q(2.1)に写す原点を中心とする回転を表す1次変 1 2023/06/11 14:28
- 数学 【 数I 放物線と直線の共有点 】 問題 放物線y=x²+ax+bが点(1,1)を通り, 直線y=2 4 2022/07/18 09:57
- 数学 数学の問題で法線ベクトルについて 5 2022/11/13 12:45
- 数学 数学 2次関数 2 2023/04/09 19:08
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
中学受験用の小5算数の問題です
-
至急!!二次関数について aは...
-
y=−x ²+6x−5 を平方完成したら...
-
2進数のバイアス表現について
-
高校数学1の問題集に、2次関数...
-
最小分解体と拡大次数について
-
数学のこの問題のことで質問が...
-
全員と同じグループを経験でき...
-
論理パズルの最小手数
-
最大元と最大値 最小元と最小値...
-
楕円の近似
-
最小ハミング距離とは?
-
ルービックキューブ解ける人に...
-
y=x^xの最小値
-
四角の部分がわかりません。解...
-
東大文系数学の問題です!
-
α=exp(2πi/9)の最小分解体は...
-
数学の平面ベクトルの問題なの...
-
一次関数の最短距離の問題です...
-
数学Aの確率
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
おしどり遊び(テイトの飛び石...
-
exselで最小数で並び替える関数
-
2進数のバイアス表現について
-
全員と同じグループを経験でき...
-
至急!!二次関数について aは...
-
x.>0ときγ(x)が最小値となるxの...
-
次の問題を解いてください。 実...
-
数学の問題が解けなくて悩んで...
-
2次関数の応用
-
3次元での点群に対する最小二...
-
3で割ると2余り、7で割ると4余...
-
y=x^xの最小値
-
間違いの理由を教えてください...
-
a, bがa>0, b>0,1/a+2/b=3を満...
-
最大元と最小元をもつことの証...
-
数学2です x>0のとき、x + 16/(...
-
数学Aの確率
-
座標平面上において、放物線y=x...
-
数学の平面ベクトルの問題なの...
-
最大元と最大値 最小元と最小値...
おすすめ情報