重ねた2物体の加速度について

水平で滑らかな床の上に質量3mの板Aを置き、更に板Aの左上に質量mの板Bを置く。
時刻t=0にBを初速度v0で右方向に滑らせるとAは動きだし、やがてBはAに対して静止した。
AとBの間の摩擦係数はμとする。
BがA上を滑っている間のA、Bの加速度α、βを求めよ。

という問題があり、答えは
A:3mα = μmg　　α = (1/3)μg
B:mβ = -μmg　　β = -μg
となります。

ここでBの加速度は床から見た加速度ですよね？
なぜBにAの加速度を足さなくてよいのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2011/09/28 08:56

＞ここでBの加速度は床から見た加速度ですよね？

＞なぜBにAの加速度を足さなくてよいのでしょうか.

Ａ，Ｂの加速度が「床から見た加速度」だからです。
Ａ，Ｂの運動をＡ，Ｂ以外の物を基準としてみています。
Ａ，Ｂの加速度が重なって表れるということはありません。

Ａの加速度はＡの質量と、Ａに働いている力で決まります。
Ｂの加速度はＢの質量と、Ｂに働いている力で決まります。

Ａ，Ｂの運動に関係が生じるとしたら働いている力を通してです。

今の場合、働いている力は摩擦力だけです。
この摩擦力によってＡ，Ｂの運動に関係が生じています。

ちなみにＢがＡに対して静止した後での速度はＶｏ／４になります。
運動量保存則を使うと計算が楽です。
２つの物体の間に力が働いて速度の変化が起こるという現象を衝突の問題であると考えるのです。
衝突後、同じ速さで運動しているのですからｅ＝０の場合になります。

No.1 回答者： Quarks 回答日時： 2011/09/28 08:34

運動方程式は、

質量×加速度＝その物体に働くすべての力の合力

と表現できます。
質量，物体に作用している力は、誰から見ても明快です※。
※慣性系にいる観察者から見た場合。どの力も観察者によらず同じ向きと大きさを持っています。ただし、加速度運動する観測者から見た場合には、慣性力を考慮しなければなりません。

問題は、左辺の「その物体の加速度」ですね。

>　A:3mα = μmg　　α = (1/3)μg
>　B:mβ = -μmg　　β = -μg
>　となります。
>　ここでBの加速度は床から見た加速度ですよね？

慣性力が顕わに入っていないので、地表で静止している観察者から見た定式だと判断してよいです。

さて、加速度とは、　"観察者から見た、物体の加速度"　ですよね。誰から見た量なのかを意識しておかなくてはならないのです。どのような観察者から見た状況なのかを、正しく方程式に組み入れておかなくてはならないのです。

βは、式から判断して、地上にいる静止している観察者から見た、Bの加速度だと思われます。　全く正しい定式だと思いますよ。

むしろ、質問者さんが、　「Ａの加速度を足」すべきだと考える方が問題です。なぜ、そのように感じるのでしょうか？
推察しますと、"ＢはＡの上に乗って運動しているのだから、Ａに対する加速度を考慮すべきでないのか"とお考えになったのかと思うのですが…。
もし、そのようにお考えになっているのなら、観察者は、Ａと一緒に加速度運動していることになりますよ。
"Ａに対する加速度"を考える＝観察者はＡと同じ運動をしている　ということです。
Ａ（と観察者）は加速度運動していますから、慣性力を考慮した運動方程式を立てることになります。
観察者は（Ａと一緒に）加速度αで運動していますから、すべての物体には
－質量×α
の慣性力が働くものとして、方程式を作らなければなりません。

Ａ：Ａは観察者に対しては静止していますから、加速度は０です。慣性力は　-3mα　ですから
　3m・0=μmg-3mα　（１）

Ｂ：観察者から見た加速度は、β-α　で、慣性力　-mα　が掛かりますから
　m・(β-α)=-μmg-mα　（２）

（１）を変形すると　　3mα=μmg
（２）は　mβ=-μmg
これは、質問者さんが、解説に見た式と全く同じものですよね。このように、どの立場から見ても、方程式は同じものになってしまいます。