プロが教えるわが家の防犯対策術!

こんにちは、気体の分子運動論について確認させてください。また質問をさせてください。どうぞ宜しくお願いします。

気体の運動エネルギーを考える際、
単原子分子の場合、内部エネルギーの変化 ΔU = 3/2 nRΔT
となりますが、この3の意味は単原子分子のとる自由度の数だと教わりました。
そしてその自由度とは、XYZ方向への並進運動とのことですね。

二原子分子の場合、これら3自由度の並進運動に加え、回転の自由度を加えるとのことでした。
回転は、二原子分子の線分をたとえば、z軸にそろえて載せた場合、X軸を回転軸とする回転、Y軸を回転軸とする回転の二つが加えられる。したがって、合計5の自由度があり、ΔU = 5/2 nRΔT
となる。

Q1: もうひとつZ軸を軸とした回転(つまり鉛筆を両方の掌ではさんで回すような回転)については、他の二回転に比べて運動エネルギーが小さいため考えない、と理解しているのですが、いかがでしょうか。

Q2:並進、回転運動の他にも、自由度として振動が考えられますが、なぜこれは加えないのでしょうか。

また、三原子分子の場合は、二通りあり、直線分子の場合、非直線分子の場合に分けられると知りました。ただ、三原子分子の場合の内部自由エネルギー変化についての式が与えられておらず、考えてみました。
Q3: 直線分子の場合、二原子分子と同じ考えで、並進、回転運動の自由度の合計は5となりそうですが、どうでしょうか。ただ、ここでも振動をどう扱うのか分かりません。振動の自由同は、三原子直線型分子の場合、4つあるようですが、これらの振動は考慮しなくて良いのでしょうか。

Q4: 非直線分子の場合、回転の自由度は一つ増えて合計3になるそうですが、これは、先程、二原子分子の際に考慮に入れなかった回転、Z軸を回転軸とする回転、が無視できなくなった、ということでしょうか。すると、ΔU = 6/2 nRΔT となりそうですが、いかがでしょうか。

また、しつこいようですみませんが、振動はどうなのでしょうか。非直線分子の場合、振動の自由度は3あるそうですが、このことは内部エネルギー変化を考える場合に考慮に入れる必要はないのでしょうか?

以上となるのですが、私の理解があっているかどうかも含め、是非質問に回答頂ければ幸いです。どうか宜しくお願いします。

分かり難い記述があるようでしたら、訂正いたしますゆえ、どうか重ねて宜しくお願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (7件)

>振動は含めないと言うことは、考慮すべきは並進運動と回転運動ですが、並進運動


>は常にXYZの三つ、回転については直線型分子だと2、屈曲した分子ならば3と、「常
>に」考えてもよいでしょうか。
>
>『Q4:これも、ご推察のとおりです。3個以上の原子からなる"剛体"としての
>分子の場合、古典物理学的には自由度は最大6なのですね。』
>ということは、この考えは正しいかと存じますが、いかがでしょうか。
>例えば、4原子分子の場合でも、直線ならば回転は2、屈曲ならば3でしょうか。
>
>複雑な形をした分子、例えば、人間のように四肢があるような形をした分子の場合、
>右手だけの回転、左足だけの回転、など複雑な回転機構が考えられそうですが、剛
>体と考えるならば、このような回転の自由度は考慮しなくてよさそうですが、いか
>がでしょうか。

 はい、そのとおりです。
 3原子分子以上の多原子分子でも、直線状の分子なら、回転の自由度は2、それ以外の形状なら回転の自由度は3となります。どんなに複雑な形状を持つ分子の場合でも、剛体なら、回転の自由度は2または3となります。これは、次のように説明されます。
 多数の粒子が、互いの相対的な位置関係を崩さないで、まとまり(粒子系)を作っているとします。つまり"剛体"を、極く小さな構成粒子の集団と見なしてしまおうということですね。
 任意の座標系を用意して、粒子系の全ての粒子の座標を確定するには、何種類の情報が必要なのかを数え上げたのが、自由度と呼ばれる数値です。
 そのうち、特に、粒子系の中の任意の1つ(Pとしましょう)に固定した座標系(Pは座標の原点に在るものとします)を考え、物体系が任意の回転をしたとき、他のすべての粒子(Qi)の位置を表そうとすれば一体いくつの情報量が有れば済むのかを数え上げたものを、回転の自由度と呼ぶのです。剛体の回転を考える時には、粒子間の相対的な位置が確定しています(互いの相対的な距離は変わりません)から、必要な情報は、Qiが、Pから見て、x軸周りにθ、y軸周りにφ、z軸周りにδ回転した、という情報だけです。
 たとえば、地球から見ると、各星座は一斉に同じ方向に日周・年周運動しているように見えます。これは、地球と星座を作っている恒星とが、相対的な位置関係を保ったままになっているので、或る天体(地球)から見て、任意の恒星(ペテルギウス)の回転さえ知ることができれば、他の任意の恒星位置が確定されるのと同じことです。
 つまり、θ,φ,δの3つの情報を知ることができれば、全てのQiの、Pに対する相対的な位置を確定できるわけです。このことを、回転の自由度が3であるというのです。
 ただし、物質系の粒子の位置関係によっては、θ,φ,δのどれかが何°であっても位置関係確定には影響しないこともあります。たとえば、x軸上に全ての粒子が配置されているとき、x軸周りの回転角度θがいくつかという情報は価値がありません。無意味ですね。このような場合は、回転の自由度がθの分だけ、1つ減ることになります。しかし、多粒子系なら、2方向の軸周りの回転情報が同時に無意味になることはありえません(x軸上とy軸上の2つの軸方向にすべての粒子が並ぶというようなことはあり得ません)から、剛体の回転の自由度は最低でも2、最大でも3なのです。
    • good
    • 0

1つ間違いがありました。


HCNは直線形です。
H-C≡N

ついでにアセチレンの構造も
H-C≡C-H

どちらについてみても励起しやすい変角振動があります。
伸縮振動はエネルギーがかなり高いです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとう御座います。勉強になります。

お礼日時:2011/11/02 22:01

#5です。


>複雑な形をした分子、例えば、人間のように四肢があるような形をした分子の場合、右手だけの回転、左足だけの回転、など複雑な回転機構が考えられそうですが、剛体と考えるならば、このような回転の自由度は考慮しなくてよさそうですが

この点について補足します。
#5で「3原子分子以上になると剛体モデルからのずれが目立ってくる」と書きました。
分子の変形が起こりやすくなるということと同じです。
原子間隔の変わるような振動は起こりにくいですが、折れ曲がりの振動とか首振り運動は起こりやすくなってきます。これはご質問の「人が手だけを回すような運動は起こりやすいのではないか」と同じ内容です。

量子力学的に表現しなくてはいけないような問題でも古典的に考えた力学モデルでの判断は当てはまります。起こりやすい振動と起こりにくい振動の違いは量子力学的に言えばポテンシャルの深さの違いになると思いますが古典論的にはばね定数の大きさです。結合の強さ=束縛の強さです。

例としてメタノールCH3-OHを考えてみます。
C-O-Hの折れ曲がりの振動は変角振動です。これは水の時にもあった起こりやすい振動です。メタノールではさらにC-Oを回転軸とするO-Hの首振り運動が出てきます。これは分子全体の回転ではない部分の回転です。手を回す運動に似ていますね。3つのC-Hが伸びている環境の中での回転ですから自由回転ではなくて少し波打つような回転になるでしょう。でも振動よりは起こりやすい運動です。
メタノールの77℃での比熱比は γ=1.203です。
前にやったのと同じような計算でγ=8/6からのずれを調べてみます。
(8+β)/(6+β)=1.2 で解くと β=4になります。
熱の配布先の自由度は剛体として見た時よりも4増えていることになります。大きい変化です。
10℃のメタンCH4の比熱比がγ=1.31であるのと比べると-O-Hの影響が大きく出ているということが分かりますね。メタンの場合の自由度の増加は10℃の時で0.7です。メタンでもC-Hの長さを変えない変角振動が一番起こりやすいです。傘を開いたり閉じたりするような変角振動は3重に縮退していますから効果が大きいです。

起こりやすい振動、起こりにくい振動を数値で確かめたい時は「振動スペクトル」を調べるといいです。
化学便覧の「振動スペクトル」の章に振動モードの図と振動スペクトルの値とが載っています。
振動スペクトルの振動数は赤外線領域にありますが回転運動、首振り運動の振動数はマイクロ波の領域です。
マイクロ波の領域の振動は常温では十分に励起していると考えていいものになります。

私の住んでいる市の図書館には「化学便覧」が置いてあります。
あなたの住んでいるところではどうでしょう。
個人で持つにはちょっとしんどい本です。
私は第3版を古本で手に入れて持っています。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

重ねまして、お礼申し上げます。理論的に求めたものと実際に測定したものの違い、そしてその違いがどうして生じるのか、など物理はとても面白いですね。私は現在、半ば独学で物理を勉強しなおしておりますが、こちら教えてgooで色々なことを確認させて頂いたり、解法をご教示頂いたりととても助かっております。皆様、ありがとう御座います。

お礼日時:2011/10/30 11:53

ここに出てきている考察は全て比熱の測定で得られる結果をもとに行われてきたものです。


一般的に「エネルギーの表現は?」というものではありません。
「エネルギーの等配分の法則」はその測定から導かれたものです。
気体の比熱の値が気体の種類によらず自由度の数だけで決まっているように見えるというものです。1自由度あたり1モルでR/2です。金属の比熱が自由度6の等配分則に従っているという事も見つかりました。これはデュロンプティの法則と呼ばれています。気体の温度、圧力、体積の関係が気体の種類に依らないという性質につながる性質です。
比熱ですから外部から加えた熱がどのような温度上昇を引き起こすかを調べています。物質内部にエネルギーの分配先がたくさんあれば比熱は大きくなります。質量には関係なくて自由度だけで決まっているというのが大きな発見だったと思います。このような「物質の種類によらないという性質」がどのように根拠に基づいて出てくるのかを示すモデルが剛体なのです。

まずどのような数値が得られているかを見てみましょう。
(以前の理科年表には比熱比の値が載っていましたが最近のものにはなぜか載らなくなくなりました。化学便覧には定圧モル熱容量Cpと比熱比γ(=Cp/Cv)の値が載っています。定積モル熱容量の値はこの2つから計算できます。・・・比熱比の値は現在、音速の測定から求められているそうです。)

測定はまず常温、常圧付近で始まったのだと思います。
1原子気体で He γ=1.66、Ne 1.64、Ar 1.67、
2原子分子で H2 γ=1.405、N2 γ=1.404、O2 γ=1.401

Cp-Cv=Rという関係を当てはめると
1原子気体で γ=5/3=1.666
2原子分子で γ=7/5=1.4
が対応する自由度です。測定はこれに「よく合っている」とひとまず考えることにしましょう。
1原子気体の並進の自由度3はすぐにわかります。これは多原子分子にも共通のはずです。
2原子分子ではエネルギーの分配される回転の自由度は2であるという事になります。この自由度2は剛体回転で分子軸に垂直な方向での回転が2つあるということに対応します。ここで剛体モデルが出てきます。でも分子軸方向の回転にはエネルギーが分配されていません。(なぜ、分子軸方向の回転にはエネルギーが分配されないのだろうかというのは新たに浮かび上がった別の問題であるという事になります。)

この枠組みを3原子分子に当てはめるとどうなるでしょうか。
直線型 γ=7/5=1.4  2原子分子と変わらないはずです
非直線型 γ=8/6=1.33 
4原子分子以上でも剛体モデルであるかぎり、γの値は同じになるはずです。

測定値は
直線型  CO2 γ=1.304(15℃)  C2H2 γ=1.31(-71℃)
非直線型 H2O γ=1.324(100℃) γ=1.310(200℃)
     HCN γ=1.31(65℃) CH4 γ=1.31(10℃)

これはもう「かなりずれている」と判断しなければいけない数値です。
2つ問題が生じたことになります。
(1)剛体モデルでは3原子分子以上ではずれが目立ってくる。
(2)直線型の分子で分子軸方向の回転にはエネルギーが分配されないのはどうしてか。

2原子分子では剛体モデルが「よく合う」としてきました。でも他の2原子分子ではどうでしょう。
Cl2 γ=1.355、 I2 γ=1.30
CO γ=1.404  HCl γ=1.41

ハロゲンではずれが目立ちます。
剛体モデルが当てはまらないというのは分子内部の自由度が関係してくるということです。
余分の自由度があると考えることができます。γ=1.4からのずれを考えてみましょう。
(7+α)/(5+α)=1.3としてみます。α≒1.7になります。

このような余分の自由度はどうして出て来るのかが問題になります。
これらは量子力学の発展過程の中で問題になってきたことです。
統計力学も関係してきます。
振動はポテンシャルの中での運動ですから量子力学で考えると不連続なエネルギー準位が存在することが分かります。エネルギー準位の間隔は結合の強さによって変化します。温度によってそれらの準位のどれくらいまで励起されているのかが変わります。これは統計力学の出てくる場面になります。

2原子分子で起こる振動は原子間の距離の変わるような振動です。これは結合の強さがまともに響いています。ハロゲンは反応性に富む元素のグループです。熱解離の起こりやすい元素だと言ってもかまいません。
常温である程度振動が励起されていることを表しています。振動の場合、1つのモードに対して自由度は2になります。2つの方向の振動という意味ではなくて位置エネルギーと運動エネルギーに対応しての2です。上で求めたα=1.7というのは十分に励起したとしたら2になるのだが温度がそれほど高くないので1.7になったという意味です。

水の場合、起こりやすい振動は変角振動です。H-Oの長さの変わる振動は起こりにくいです。
H-O-Hの角度は104.5°です。この角度を中心とした角度変化が起こるような振動です。

二酸化炭素は3原子直線型です。γの値は1.4のはずですが1.3まで下がっています。
かなり変角振動が励起していると考えられます。
CO2は変角振動のモードが2つあります。縮退しています。残りの2つはC=Oの長さの変わる振動です。H2Oの場合も、CO2の場合も励起されやすい変角振動が極性が変化するような振動になっています。赤外線の吸収が起こりやすい大気中の成分であるということです。

外部から熱を加えた場合、熱は全て原子の運動に配分されています。電子は原子の動きに乗っかって一緒に動きます。原子とは別に電子だけが状態を変えるというのは熱励起では普通起こりません。
2原子分子での分子軸の方向での回転を考えないのは無視したのではなくて「起こらない」、または「考えようがない」という事です。1原子気体の自由度を3としたところでも原子の回転は考えていませんね。確かに原子にも大きさはあります。この大きさは電子の分布している範囲のことです。その大きさが問題になる場合もあります。剛体球のモデルを当てはめる時もあります。でも熱励起を考えている時に原子の回転は考えないのです。原子核の周りの電子の分布を加熱で回転させることなどできないからです。電子は加熱する前から空間全部に広がって分布しています。中心にある原子核に向きを当てはめることも無理な話です。

2原子分子で γの値が1.4を超えているものがあります。
これは回転に少しブレーキがかかっている、自由回転ではないというように考えればいいでしょう。
他の分子からの影響が出てきているという事ですから理想気体の性質からのずれが原因であると考えてもいいようです。Cp-Cv=Rの関係はdV/dT=一定という性質から出てきています。低温ではこの関係が当てはまらなくなってきます。

長くなりましたがこんなことでどうでしょう。
「?」のつく内容もあるかもしれません。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

とても丁寧で具体的なご説明を頂きまして、大変興味深く拝読しました。ありがとう御座います。

お礼日時:2011/10/30 11:50

Q1


運動エネルギーが小さいから無視できるのではなく、そもそもそのような回転の自由度は存在しません。

大まか言うと、重心の位置と分子の形状(各原子間の距離)が変化しないような原子核(たち)の運動を「回転」と呼びます。z軸周りに二原子分子を回転させようとしても原子核は移動しないですよね。原子核が移動しないという事は回転しないという事になるんです。
※同様の理由で、単原子分子(主に希ガス)の回転の自由度は0です。

Q2以降は既にある回答の通りなので省略。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答頂きましてありがとう御座います。

他の回答者様にもお聞きしましたが、以下の追加の質問についてご教示頂けますととても幸いです。

---------以下 写しにて失礼します ---------------------

ところで、振動は含めないと言うことは、考慮すべきは並進運動と回転運動ですが、並進運動は常にXYZの三つ、回転については直線型分子だと2、屈曲した分子ならば3と、「常に」考えてもよいでしょうか。例えば、4原子分子の場合でも、直線ならば回転は2、屈曲ならば3でしょうか。

何を疑問に思っているかと申しますと、複雑な形をした分子、例えば、人間のように四肢があるような形をした分子の場合、右手だけの回転、左足だけの回転、など複雑な回転機構が考えられそうですが、剛体と考えるならば、このような回転の自由度は考慮しなくてよさそうですが、いかがでしょうか。的外れな疑問をお聞きしているようで心配しておりますが、どうかご教示頂ければと思います。

宜しくお願い致します。
----------------------------------------

お礼日時:2011/10/27 09:20

振動についてだけお答えします。



分子などの振動は量子化されているので振動数をνとした場合、hνの整数倍以外のエネルギーはとれません。このため熱エネルギーがhνに相当するあたりまで温度が上がらないと振動はおきません。(古典的な振動子なら振幅が小さくなるだけでどんな温度でも振動はある。)

多くの場合、分子振動の振動数は赤外領域にあり、このエネルギーhνを温度に換算すると1000度とかそういう高温になります。通常熱力学で扱っている温度域はこれよりずっと低い温度なので、振動は励起されていません。これが振動を除外する理由です。

このような高温でも熱分解しないような分子なら、高温領域での振る舞いを見るには振動の自由度を入れる必要があります。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

回答頂きましてありがとう御座います。なるほど、振動については、光が関わってくるわけですね。分光分析の世界がここで繋がるとは思いも寄りませんでした。ありがとう御座います。

追加の質問としてお伺いさせてください。頂いた回答を読みまして、考えたのですが、分光分析で温度変化を補正しないのは温度が分子振動に殆ど影響を与えないからと考えてよいでしょうか。赤外線分析において温度を考えなかったのは何故だろうと思ったのですが、こういうことが背景にあるのでしょうか。


また、他の回答者様にもお聞きしましたが、以下の追加の質問についてご教示頂けますととても幸いです。

---------以下 写しにて失礼します ---------------------

ところで、振動は含めないと言うことは、考慮すべきは並進運動と回転運動ですが、並進運動は常にXYZの三つ、回転については直線型分子だと2、屈曲した分子ならば3と、「常に」考えてもよいでしょうか。例えば、4原子分子の場合でも、直線ならば回転は2、屈曲ならば3でしょうか。

何を疑問に思っているかと申しますと、複雑な形をした分子、例えば、人間のように四肢があるような形をした分子の場合、右手だけの回転、左足だけの回転、など複雑な回転機構が考えられそうですが、剛体と考えるならば、このような回転の自由度は考慮しなくてよさそうですが、いかがでしょうか。的外れな疑問をお聞きしているようで心配しておりますが、どうかご教示頂ければと思います。

宜しくお願い致します。
----------------------------------------

お礼日時:2011/10/27 09:25

Q1:そのとおりです。



Q2:振動の運動エネルギーを考慮していない理由ですが、それは、通常、分子を「剛体」と見なしているからです。分子を構成している原子が互いに位置関係が固定されて変化できないのが剛体ですから、振動は最初から考慮外になっているわけです。
 もちろん、現実の分子は剛体ではないですから、振動の運動エネルギーを考えることはできます。

Q3:そのとおりです。そのように、考えるのが自然でしょう。

Q4:これも、ご推察のとおりです。 3個以上の原子からなる"剛体"としての分子の場合、古典物理学的には自由度は最大6なのですね。

 実在の分子は、剛体ではなく、また分子間には相互作用もありますから、内部エネルギーは、並進運動・回転運動の運動エネルギーだけでなく、振動の運動エネルギーや相互作用に基づく位置エネルギーも含むものと考えるのが自然だと思います。
 実際、実在の分子たとえば水分子のモル比熱などは、単純な屈曲した3原子からなる剛体分子とみなしたときの"理論値"とはかけ離れた値になっています。

 しかし、頭に入れておかなければならないことがあります。振動や相互作用を考慮すれば、いくらでも実在の物質の内部エネルギーや、それと関連するモル比熱に迫っていけるのかと言えば、残念ながらそうではないようです。
 正しく理解するには、量子力学が必要なのだということです。ここにも、古典物理学の限界が深淵となり、行く手を阻んでいるようです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

丁寧に回答頂きまして本当にありがとう御座います。
振動について量子化されているということで、振動は内部エネルギーの際に考慮にいれないということ良く分かりました。量子力学をよく勉強してさらに理解を深めたいと思います。

ところで、振動は含めないと言うことは、考慮すべきは並進運動と回転運動ですが、並進運動は常にXYZの三つ、回転については直線型分子だと2、屈曲した分子ならば3と、「常に」考えてもよいでしょうか。回答頂いた文面の中で、

『Q4:これも、ご推察のとおりです。 3個以上の原子からなる"剛体"としての分子の場合、古典物理学的には自由度は最大6なのですね。』
ということは、この考えは正しいかと存じますが、いかがでしょうか。
例えば、4原子分子の場合でも、直線ならば回転は2、屈曲ならば3でしょうか。

何を疑問に思っているかと申しますと、複雑な形をした分子、例えば、人間のように四肢があるような形をした分子の場合、右手だけの回転、左足だけの回転、など複雑な回転機構が考えられそうですが、剛体と考えるならば、このような回転の自由度は考慮しなくてよさそうですが、いかがでしょうか。的外れな疑問をお聞きしているようで心配しておりますが、どうかご教示頂ければと思います。

宜しくお願い致します。

お礼日時:2011/10/27 09:16

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q2原子、3原子分子の自由度について

2原子、3原子分子に対して回転運動・振動運動のそれぞれの自由度はいくらになりますか?
調べれば調べるほど、
2原子分子については回転3振動0だったり、回転2振動1だったりします。3原子分子でも回転3振動3だったり、回転2振動4だったりします。
正しい答えが知りたいので説明お願いします。(>_<)

Aベストアンサー

1つの原子はx、y、zの3方向に動けるから自由度3を持ちます(斜めはこれらの組み合わせで表される)。
原子が2つになると、動きとしては3×3=9とか、±を考えてもっとたくさんありそうに思えますが、実際に意味のあるものはx1に対して±x2、y1に対してy2±、z1に対して±z2の6つです。
他の動きはこれらの組み合わせで表せます。
一般的に、N個の原子の自由度の合計は3Nになります。
N原子分子はN個の原子の集まりなので、自由度は3Nです。

そのうち、すべての原子、つまり分子全体がx、y、zの3方向のうちいずれかの方向に一斉に動く運動というものが考えられますが、これは並進運動と呼ばれるものです。
分子によって特定の方向の並進運動ができないということはありません。
したがって、どんな分子でも並進運動の自由度は3になります。

次に、原子の動き方によっては、分子全体が回転するようなことが考えられます。
回転の方向としては、xy平面(z軸中心の回転)、yz平面(x軸中心の回転)、zx平面(y軸中心の回転)の3種類が考えられます。
ただし、直線分子に関しては注意が必要で、分子の軸を中心とした回転は、原子の位置が全く変化していないので、動いていないのと同じということになります。
そういうわけで、回転の自由度は3(直線分子では2)ということになります。

残りはすべて振動の自由度になるため、振動の自由度は3N-6(直線分子では3N-5)となります。

したがって、回答としては、
2原子分子(必ず直線)では 回転2振動1
3原子分子では 回転3振動3(非直線分子)または回転2振動4(直線分子)
となります。

1つの原子はx、y、zの3方向に動けるから自由度3を持ちます(斜めはこれらの組み合わせで表される)。
原子が2つになると、動きとしては3×3=9とか、±を考えてもっとたくさんありそうに思えますが、実際に意味のあるものはx1に対して±x2、y1に対してy2±、z1に対して±z2の6つです。
他の動きはこれらの組み合わせで表せます。
一般的に、N個の原子の自由度の合計は3Nになります。
N原子分子はN個の原子の集まりなので、自由度は3Nです。

そのうち、すべての原子、つまり分子全体がx、y、zの...続きを読む

Q分配関数(状態和)がわかりません。

統計力学とかで出てくる分配関数(状態和)がありますが、物理的な意味がよくわかってません。
Σexp(-β・ei)とありますがどういう意味なんでしょうか?

またある問題でエネルギー準位ε=(n+1/2)hνのN個の独立な調和振動系子の系があり
この調和振動子一個に対する状態和が
Z=1/{2sinh(hν/2kB・T)}
となることを示せという問題があるんですが問題の意味すらよくわかりません。
一個に対する状態和?という感じです。
どうかお願いします。

Aベストアンサー

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというように表すことが出来ますね。
このときの状態和は
 Z=ΣP(x)
  =P(1)+P(2)+…+P(6)
  =6*1/6
  =1
ということになります。

>速度やモーメントならしっくりきますが状態というのは一体何なんでしょうか?
さいころで言うと状態は「1の目が出ること」などに対応します。
この場合は6つの状態を取り得ますね。

>一個に対する状態和?
粒子が一個であっても e_n =(n+1/2)hν という結果を見れば、
基底状態 e_0 = hν/2 の状態にあるかもしれないし、
励起状態の1つ e_1 = (1+1/2)hν = 3/2*hν のエネルギー状態にあるかもしれない、
というようにとり得る状態は1つではないことがわかります。
あとは、先のさいころの例と同様に
e_0 の状態にある確率が exp(-βe_0)
e_1 の状態にある確率が exp(-βe_1)
   :
ですからこれらの確率の無限和をとるだけです。


この質問とは関係ないですが、
その後、相対論の理解は進みましたか?

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというよう...続きを読む

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Q定積モル比熱

今三原子分子の定積モル比熱Cvを考えています。
私は単原子分子が(3/2)R,二原子分子が(5/2)Rなので三原子分子は(7/2)Rだと考えていました。おそらくどこかでそう習った記憶もあります。しかし確証がないというか、なぜそうなるのかが理解できていません。定積モル比熱は内部エネルギーを温度で微分して得られるのはわかるのですが…。
恐れ入りますがご指摘をお願い致します。

Aベストアンサー

私はPlanck-Einstein関数と書きましたが(そう書く本もあります)、Einsteinの比熱の式と思って下さい。固体について単一の振動数を仮定したものです。(因みにこれを改良してDebyeの比熱の式も有名です。)
式としてはP=(u^2 e^u)/(e^u -1)^2 (ここでu=θ/T=hν/kT)という形です。
さて、分子の場合は振動モードに固有振動数があるので、Einsteinの式が正確な式として使えます。これにより比熱の式は直線分子なら
Cv=R(5/2 +ΣP(θ/T))
非直線分子なら
Cv=R(3+ΣP(θ/T))
となります。
ここでΣは、分子を構成する原子の個数をnとして、直線なら3n-5個、非直線なら3n-6個について足し合わせます。ここで引いている5とか6の数は、並進の自由度と回転の自由度を足したものです。

Q単原子分子で比熱比γが5/3の気体Aと2原子分子で

単原子分子で比熱比γが5/3の気体Aと2原子分子で比熱比が7/5の気体Bがある。
最初、圧力、体積、温度が等しい状態から断熱圧縮で体積を最初の体積の1/2にした。
このときAとBの気体について、気体がした仕事の比、最後の状態の圧力の比、温度の比を求めよ。

仕事の比は1.10、圧力の比は1.20、温度の比は1.20になるそうなんですが、わかりません。

計算の過程を教えてください。
おねがいします。

Aベストアンサー

断熱変化では
 P・V^γ=一定
という関係が成り立っています。

出発時の圧力をP,体積をV,絶対温度をTとします。
体積が(V/2)になった時の圧力をP',絶対温度をT'とします。

P・V^γ=P'・(V/2)^γ
ですから
P'/P=((V/2)^γ)/(V^γ)=2^γ
∴求める圧力比は 2^(γ-γ')=2^(5/3-7/5)=1.20

状態方程式が成り立つとして
PV=nRT
P'・(V/2)=nRT'
P'=P・2^γ でしたから
nRT'=(P・2^γ)・(V/2)=PV・2^(γ-1)=2^(γ-1)・nRT
∴T'/T=2^(γ-1)
∴求める絶対温度の比は 2^((γ-1)-(γ'-1))=2^(γ-γ')=1.20

断熱変化の場合、仕事は、p・dVから計算するのではなく、熱力学第1法則から求めた方がスッキリします。

断熱変化なので、外部から出入りした熱量Q=0ですから、ΔU-W=Q
気体がされた仕事Wは、 W=ΔU と評価できます。
気体がした仕事なら -Wですが、今問題にしている仕事の比率では、した仕事で評価しても、された仕事で評価しても同じ結果になりますから、どちらで計算しても構わないはずです。

ΔU=nCv・ΔT
です。
T'/T=2^(γ-1) でしたから ΔT=T'-T=(2^(γ-1)-1)・T です。
一方、 Cp-Cv=R , γ=Cp/Cv でしたから
Cv=R(γ-1)なので Aでは Cv=3/2, Bでは Cv=5/2 であることがわかります。

∴求める仕事の比は
 {n・Cv・(2^(γ-1)-1)T}/{n・Cv'・(2^(γ'-1)-1)T}
= {(γ-1)・(2^(γ-1)-1)}/{(γ'-1)・(2^(γ'-1)-1)}
=1.10

断熱変化では
 P・V^γ=一定
という関係が成り立っています。

出発時の圧力をP,体積をV,絶対温度をTとします。
体積が(V/2)になった時の圧力をP',絶対温度をT'とします。

P・V^γ=P'・(V/2)^γ
ですから
P'/P=((V/2)^γ)/(V^γ)=2^γ
∴求める圧力比は 2^(γ-γ')=2^(5/3-7/5)=1.20

状態方程式が成り立つとして
PV=nRT
P'・(V/2)=nRT'
P'=P・2^γ でしたから
nRT'=(P・2^γ)・(V/2)=PV・2^(γ-1)=2^(γ-1)・nRT
∴T'/T=2^(γ-1)
∴求める絶対温度の比は 2^((γ-1)-(γ'...続きを読む

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q比熱比

定圧比熱と定積比熱の比である比熱比の値は自由度でかわってくるそうですが、比熱比の物理的意味とはなんなのですか?
比熱比が大きい場合と小さいばあいではどのような異なった特徴があるのでしょうか?
質問の意味がわかりずらくすいません。

Aベストアンサー

 物理的な意味ではないですが、気体の物性的パラメーターの一つであるポアソン比νに等しいという関係もあります。
 比熱比の理論が知られる以前には気体の性質を把握するパラメーターとしては圧縮率kが使用されていた。定義は
断熱変化における圧力と体積の比例係数k1
k1dp=-dV/V
等温変化における圧力と体積の比例係数k2
k2dp=-dV/V
種々の気体において実験をした結果、k1とk2の比がいくつかの一定値に集まる事が知られてポアソン比と呼ばれた。

 同じ事を状態方程式pV=RTと比熱比によって検証すれば
断熱変化pV^γ=一定よりdV/dp=-V/(γp)、式を比較して
k1=1/(γp)
等温変化pV=RT=一定よりdV/dp=-V/p、式を比較して
k2=1/p
従って、k2/k1=γすなわちポアソン比とは比熱比のことであった。

Q一分子の基底状態と励起状態の縮退度の求め方

1辺aの立方体に質量mの内部構造のないNコの同種粒子からなる気体がある。
一粒子のエネルギー準位は次のように書ける。
E=h・h(nx・nx+ny・ny+nz・nz)/(8ma・a)
hはプランク定数。nx,ny,nzは自然数。

という問題で
「一分子の基底状態と励起状態の縮退度はそれぞれいくらか」
というのがテストで出たんですがわかりませんでした。
答えあわせをしてくれないので困ってます。
どなたかわかる方いませんか?教えてください(泣

Aベストアンサー

例によって答を教えてくれない先生ですか.
どうも困ったもんですね~.

同じエネルギーの値に対して状態がいくつあるかが縮退度です.
状態は 自然数の組 nx, ny, nz の組で指定されます.

最低エネルギーの状態(基底状態)はもちろん,nx = ny = nz = 1 の
ただ1通りだけ.
したがって基底状態の縮退度は1.

最初の励起状態は,nx,ny,nz のうち1つが2,残り2つが1というやつで
nx^2 + ny^2 + nz^2 = 6
ですね.
nx,ny,nz のうちどれかが2だというのだから,3通りの可能性があります.
すなわち,縮退度は3.

2番目の励起状態は,nx,ny,nz のうち2つが2,残り1つが1というやつで,
これも3通りの可能性があるから,縮退度は3.

つまり,エネルギーを決めると,nx^2 + ny^2 + nz^2 が決まるので,
これに対応する nx,ny,nz の選び方の数が縮退度です.
一般の nx^2 + ny^2 + nz^2 を指定して選び方の数を求めるのはちょっと
複雑そうです.

幾何学的には,nx,ny,nz の3次元空間で,球の半径 nx^2 + ny^2 + nz^2 を
決めたとき,その球面が通る格子点の数はいくつか,と言う問題になっています.

通常は,a が十分大きいとして,エネルギーの連続極限をとってしまいますが,
そこらあたりまで要求されているんでしょうか?

それから,もし粒子が電子だとすると,nx,ny,nz を指定しても,
その他にスピンの自由度2があります.
スピンまで考慮すれば,縮退度は上の計算の2倍になります.

例によって答を教えてくれない先生ですか.
どうも困ったもんですね~.

同じエネルギーの値に対して状態がいくつあるかが縮退度です.
状態は 自然数の組 nx, ny, nz の組で指定されます.

最低エネルギーの状態(基底状態)はもちろん,nx = ny = nz = 1 の
ただ1通りだけ.
したがって基底状態の縮退度は1.

最初の励起状態は,nx,ny,nz のうち1つが2,残り2つが1というやつで
nx^2 + ny^2 + nz^2 = 6
ですね.
nx,ny,nz のうちどれかが2だというのだから,3通りの可能性があります.
...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q単位体積(1m^3)当たりに占める原子の個数

こんにちは、

ある金属(金、銀、銅)の単位体積に、何個の原子があるのか?どうやって計算すれば良いのでしょうか?

Aベストアンサー

単位体積の重さを計算します。それは密度から計算できるはずです。
それをグラム単位で表し、それを原子量で割れば、その原子の物質量(モル数)が計算できます。
1モルの原子数は約0.02x10^23個(アボガドロ数)ですので、それを上記の物質量にかければ原子数が計算できます。


人気Q&Aランキング