楕円体の慣性モーメントについてです

長半径ａ短半径ｂの楕円体の慣性モーメントを求めたいです(原点が楕円の中心でx軸y軸z軸それぞれの慣性モーメントを求めたい)

ｒ^2ｄｍの積分で慣性モーメントが求まるのでｄｍは楕円の媒介変数表示で表せる気がしますが、ｒはあらわしかたが想像できません

楕円体の慣性モーメントのもとめかたわかるかた教えてください

No.5 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/11/18 09:42

No.3 訂正があります。

オンラインで書くとダメですね(^^;


>(3/4)(a^2+b^2)M∫(sinθ)^3r^4drdθdΦ=(a^2+b^2)M∫r^4drdΦ=
>(a^2+b^2)M∫r^4dr=(1/5)(a^2+b^2)M

(3/4)(a^2+b^2)M∫(sinθ)^3r^4drdθ=(a^2+b^2)M∫r^4dr=
=(1/5)(a^2+b^2)M

でした。(sinθ)^3　の積分は、公式を参照してください。
0～πでは 4/3 になります。

この回答へのお礼

遅くなり申し訳ありません。
ほんとにほんとにありがとうございます＞＜
こんなにも詳しくかいていただいて・・・

おかげでりかいできました。

感謝してもしきれません。
貴重なお時間をさいてしまい申し訳ありませんでした。

ほんとにありがとうございました。

お礼日時：2011/11/22 01:17

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/11/18 01:41

>a=b または a=c なら回転楕円体になります。

b=cのケースも　回転楕円体ですね。惚けてました。

以上参考になれば幸いです。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/11/18 00:06

あれ、これひょっとして回転楕円体？

どう回転させるか書いてませんが、より一般的な、x, y, z 方向のサイズが
2a, 2b, 2c の楕円対は 体積は V=(4/3)πabc だから　回転軸を z とすると

変数変換を ax'=x, by'=b, cz'=z とすると

∫(x^2+y^2)(M/V)dxdydz=∫(a^2x'^2+b^2y'^2)(3/4)(M/π)dx'dy'dz'

ここで x'=rsinθcosΦ, y'=rsinθsinΦ とすると、ヤコビアンは r^2sinθなので


∫(a^2(cosΦ)^2+b^2(sinΦ)^2)(sinθ)^2r^2(3/4)(M/π)drdθdΦ
(積分範囲は r=0～1, Φ=0～2π, θ=0～π)

あとは３重積分するだけ

(3/4)(a^2+b^2)M∫(sinθ)^3r^4drdθdΦ=(a^2+b^2)M∫r^4drdΦ=
(a^2+b^2)M∫r^4dr=(1/5)(a^2+b^2)M

同様に x 軸なら(1/5)(b^2+c^2)M, y軸なら (1/5)(a^2+c^2)M です。

a=b または a=c なら回転楕円体になります。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/11/17 23:17

No1 は z軸だけでした。

y軸の場合は ∫x^2 dm なので、ほぼ同じ計算で (1/4)Ma^2
x軸の場合は ∫y^2 dm なので、ほぼ同じ計算で (1/4)Mb^2

式の変形の仕方は No1 を見てください。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/11/17 23:03

えーとまず楕円の座標系を x, y として x は -a から a の範囲、 yは -b から b の範囲に

楕円があるとします。ここで変数変換 ax' = x, by'=y とすると

a dx'=dx, b dy' = dy なので

∫dxdy(楕円で積分) =∫ab dx'dy'(半径1の円で積分)=abπ

これが楕円の面積になります。

すると慣性モーメントは楕円の質量を M とすると

I= ∫(x^2+y^2)dm = ∫(x^2+y^2)(M/(abπ))dxdy =
∫(a^2x'^2+b^2y'^2)(M/(abπ))ab dx'dy'(半径１の円で積分)=
∫(a^2x'^2+b^2y'^2)(M/π) dx'dy'(半径１の円で積分)

ここで x' = r cosθ, y'=r sinθ と置くと dx'dy' = rdrdθ なので
#rは２次元極座標のヤコビアン

I=∫(a^2 r^2(cosθ)^2 + b^2 r^2(cosθ)^2)(M/π)rdrdθ
=∫(a^2 (cosθ)^2 + b^2 (cosθ)^2)(M/π)r^3 dr dθ

まず r=0～1で積分すると

I=(1/4)(M/π)∫(a^2 (cosθ)^2 + b^2 (cosθ)^2) dθ (θ=0～2π)
=(1/4)(M/π)∫(a^2((1+cos2θ)/2) + a^2((1-cos2θ)/2) dθ (θ=0～2π)
=(1/4)(M/π)(πa^2+πb^2)

= (1/4)M(a^2+b^2)

ふう～、以上です。変数変換を使った積分の良い練習になりますね。