数学の問題教えてください！

１．不等式aＸ２乗＋bＸ-1>0の解が、三分の一＜Ｘ＜１となるように、定数ａ，ｂの値を求めよ。

２．角ｃ＝９０度である直角三角形ＡＢＣで、角Ａ＝α、ＡＢ＝ｘとする。頂点Ｃから辺ＡＢに下した推薦をCDとするとき、ＡＤとＢＤの長さをｘ、αを用いて表せ。

３．直線ｙ＝ａｘと放物線ｙ＝ｘ２乗－２ｘで囲まれる部分の面積が、ｘ軸によって２等分されるように、定数ａの値をさだめよ。ただし、ａ＞０とする。

４．ｎが自然数のとき、不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
２のｎ乗＞ｎ＋１(ｎ≧２)




問題集の基本問題なのでそれほどは難しくないはずなのですが
たくさんため込んでしまいました(:_;)

わかるのだけでもいいので教えていただけたらうれしいです<m(__)m>

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/12 22:17

#1～#3です。

つぎに４。の回答です。

>４．ｎが自然数のとき、不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
　2^n＞n+1 (n≧2)　…（◆）

1°n=2のとき 2^2=4＞2+1=3 で成立。

2°n=k(≧2)の時成立すると仮定すると
　2^k＞k+1
n=k+1の時
　2^(k+1)=2*2^k＞2*(k+1)=2k+2＞(k+1)+1
n=k+1のときも成立。
以上から数学的帰納法により(◆)が成り立つ事が証明された。

この回答へのお礼

ありがとうございました！！！
とても助かりました(^○^)

お礼日時：2012/01/13 08:07

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/12 22:03

#1,#2です。

つぎに３．だけ回答します。

>３．直線ｙ＝ａｘと放物線ｙ＝x^2 -2x で囲まれる部分の面積が、ｘ軸によって２等分されるように、定数ａの値を定めよ。ただし、ａ＞０とする。

x軸と放物線で囲まれる面積Sは
　S=∫[0,2] {0-(x^2-2x)}dx
=[-x^3/3+x^2] [0,2]
=-(8/3)+4
=4/3
y=ax…(1)と=x^2-2x…(2)の交点のx座標は
　ax=x^2-2x より　x(x-2-a)=0 ∴x=0,2+a

(1)と(2)で囲まれる面積S1は
　S1=∫[0,2+a] {ax-(x^2-2x)}dx
= [ax^2/2 -x^3/3 +x^2] [0,2+a]
= (1/6)a^3 +a^2 +2a+(4/3)
=(1/6)(a+2)^3
S1=2Sより
　(1/6)(a+2)^3=(4/3)*2
　(a+2)^3=16
∴a=2^(4/3)-2

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/12 21:25

#1です。

2の回答だけ。

>角C＝90度である直角三角形ＡＢＣで、角Ａ＝α、ＡＢ＝ｘとする。

>頂点Ｃから辺ＡＢに下した垂線をCDとするとき、ＡＤとＢＤの長さをｘ、αを用いて表せ。

AD=ACcosα=ABcosα*cosα=x(cosα)^2
BD=AB-AD=x-x(cosα)^2=x{1-(cosα)^2}=x(sinα)^2

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/12 21:14

問題の種類が異なる問題については別投稿にして下さい。

とりあえず１．だけ回答します。
>不等式aＸ^2＋bＸ-1>0の解が、1/3＜Ｘ＜１となるように、定数ａ，ｂの値を求めよ。

a<0
かつ
aＸ^2＋bＸ-1=0の２つの解が X=1/3 と X=1
解と係数の関係から
(1/3)+1=-b/a , (1/3)*1=-1/a
　∴a=-3, b=4　…(★)
a=-3　は　a<0を満たしている。
（★）が答え。