球の体積の解法

球面x＾２＋y＾２＋z＾２＝a^２の内部にある円柱x＾２＋y＾２＝axの部分の体積Vを求めよ

以上の問題に対して僕の解答は
z＝√（a^2-x^２-y^２） D=x^2+y^2<=ax
極座標変換によりx＝rcosθ y=rsinθ
とするとE={0<=r<=acosθ -π/2<=θ<=π/2
よって体積Vを求める式は
∫（ -π/2→π/2）dθ∫(0→acosθ )√（a^2-r^２）・rdr
置換積分によりr＾２＝tと置く
２rdr＝dt　　0<=r<=acosθ <=> 0<=t<=a^2cos^2θ
するとVの式は
　　（1/2）∫（ -π/2→π/2）dθ∫(0→a^2cos^2θ )√（a^2-t）dt

＝（1/2）∫（ -π/2→π/2）[-(2/3)(a^2-t)^(3/2)](0→a^2cos^2θ )dθ
　＝（1/2）∫（ -π/2→π/2）｛-(2/3)(a^3-a^3cos^3θ+(2/3)(a^3) ｝dθ
＝(1/3)(a^3)∫（ -π/2→π/2)(cos^3θ)dθ
＝(1/3)(a^3)∫（ -π/2→π/2)cosθ(1-sin^2θ)dθ
　sinθ=uと置くと、cosθdθ=du、-1<=u<=1

(1/3)(a^3)∫（-1<=u<=1 )(1-u^2)dθ
　＝(1/3)(a^3)[u-(1/3)u^3]（-1<=u<=1)
＝ ４/9a^3

だったのですがまるで違っていました。
参考書の解答は
求める体積はx>=0 y>=0 z>=0の4倍なので
V＝４∬（D）√（a^2-x^２-y^２）dxdy
極座標変換により0<=r<=acosθ
rsinθ>=0 　rcosθ>=0より0<=θ<=π/2
V=4∫(0→π/2)dθ∫（0→acosθ）√（a^2-r^２）・rdr
　=4∫(0→π/2)[(-2/3)(1/2)(a^2-r^2)^(3/2)]（0→acosθ)dθ
=(4/3a^3)∫(0→π/2）（１-sin＾3θ）dθ=(4/3a^3){π/2-∫(0→π/2）sin＾3θdθ}
V＝(4/3a^3）（π/2-2/3）

とあったのですが自分の解答が何故間違ってるのかすらもわからないというのが正直なところです。
間違いの理由を指摘して頂きたいです。

No.10 回答者： noname#171582 回答日時： 2012/02/07 14:37

まだまだ未解決

＝（1/３）(a＾３）∫（ -π/2→π/2）｛1-（sinθ）＾３ ｝dθ・・・・・・・（1１）


＝（1/３）(a＾３）∫（ -π/2→０）｛1＋（sinθ）＾３ ｝dθ
＋（1/３）(a＾３）∫（０→π/２）｛1-（sinθ）＾３ ｝dθ・・・・・・・（1２）

（１１）式から（１２）式になる過程で何故

∫（ -π/2→０）｛1＋（sinθ）＾３ ｝dθ
と
∫（０→π/２）｛1-（sinθ）＾３ ｝dθ

に分離するのかわからないであろう。
”sinθ”が奇関数だから。

なぜなら被積分｛1-（sinθ）＾３ ｝は奇関数でなくても
”sinθ”が奇関数だから。正解が出ないと言うことである。

まだまだ落とし穴の解決策の説明が必要なようです。

第I象限

sinθ≧０
cosθ≧０

なので、
sinθ＝√｛１－（cosθ）＾２｝


第IV象限

sinθ≦０
cosθ≧０

なので、
sinθ＝ー√｛１－（cosθ）＾２｝
となる。

これが二つの式に分離する理由です。

No.9 回答者： noname#171582 回答日時： 2012/01/22 01:00

球の体積の解法

＞球面x＾２＋y＾２＋z＾２＝a^２の内部にある円柱x＾２＋y＾２＝axの部分の体積Vを求めよ
-----------------------------------------

体積Vを求めよ。」ですか。なるほどね。

＞以上の問題に対して僕の解答は
＞z＝√（a^2-x^２-y^２） D=x^2+y^2<=ax
＞極座標変換によりx＝rcosθ y=rsinθ
＞とするとE={0<=r<=acosθ -π/2<=θ<=π/2・・・・・・・・・（２）
＞よって体積Vを求める式は
＞∫（ -π/2→π/2）dθ∫(0→acosθ )√（a^2-r^２）・rdr・・・・・・・・（１）
------------------------------------

置換積分によりr＾２＝tと置く
２rdr＝dt　　0<=r<=acosθ <=> 0<=t<=a^2cos^2θ
するとVの式は
　　（1/2）∫（ -π/2→π/2）dθ∫(0→a^2cos^2θ )√（a^2-t）dt

＝（1/2）∫（ -π/2→π/2）[-(2/3)(a^2-t)^(3/2)](0→a^2cos^2θ )dθ・・・・・・・（８）

　＝（1/2）∫（ -π/2→π/2）｛-(2/3)(a^3-a^3cos^3θ+(2/3)(a^3) ｝dθ・・・・・・・（９）

（９）式がちがいますね。なので、

＝（1/2）∫（ -π/2→π/2）｛-(2/3)(a^2-a^2cos^2θ)^(3/2)+(2/3)(a^2)^(3/2) ｝dθ・・・・・・・（10）
ですね。

＝（1/３）(a＾３）∫（ -π/2→π/2）｛1-（sinθ）＾３ ｝dθ・・・・・・・（1１）
ここから、ポイント。間違いやすい。

＝（1/３）(a＾３）∫（ -π/2→０）｛1＋（sinθ）＾３ ｝dθ
＋（1/３）(a＾３）∫（０→π/２）｛1-（sinθ）＾３ ｝dθ・・・・・・・（1２）


[θ-（cosθ）+（1/3）（cosθ）＾３]
--------------------------=｛1＋（sinθ）＾３ ｝
dθ



[θ+（cosθ）-（1/3）（cosθ）＾３]
---------------------------=｛1-（sinθ）＾３ ｝
dθ

なので、


＝（1/３）(a＾３）[θ-（cosθ）+（1/3）（cosθ）＾３]（ -π/2→０）
＋（1/３）(a＾３）[θ+（cosθ）-（1/3）（cosθ）＾３]（０→π/2）・・・・・・・（１３）

＝（1/３）(a＾３）[０-１+（1/3）＋π/2＋０-０]
＋（1/３）(a＾３）[π/2+０-０-０-１+（1/3）]・・・・・・・（１４）


＝（1/３）(a＾３）[π-４/3]・・・・・・（１５）
＝（２/３）(a＾３）[π/２-２/3]・・・・・・（１６）

元々＊２をやる必要があったので
＝（４/３）(a＾３）[π/２-２/3]・・・・・・（１７）

やれやれ。やっと正解にたどり着いたようだ。

No.8 回答者： noname#171582 回答日時： 2012/01/21 15:29

＞０≦θ≦２πが正解。

誤りです。

０≦θ≦π/２　、３π/２≦θ≦２π
です。

No.7 回答者： noname#171582 回答日時： 2012/01/21 15:08

＞以上の問題に対して僕の解答は

＞z＝√（a^2-x^２-y^２） D=x^2+y^2<=ax

＞極座標変換によりx＝rcosθ y=rsinθ
＞とするとE={0<=r<=acosθ -π/2<=θ<=π/2

-π/2<=θ<=π/2これが誤り。

０≦θ≦２πが正解。

よって体積Vを求める式は

∫（ ０→２π）dθ∫(0→acosθ )√（a^2-r^２）・rdr

となる。

No.6 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/01/20 16:59

#1,2のものです。

#1の補足にある質問
> ＞求める体積はx>=0 y>=0 z>=0の4倍なので
> V＝４∬（D）√（a^2-x^２-y^２）dxdy

> こちらの係数が４＊２にならないのは何故でしょうか？

体積を求める対象の形がキチンと想定できていないのではないですか。

求める対象はa>0とすると
・xy平面に対して対称
・xz平面に対しても対称
・yz平面で分けられるた空間の一方(x≧0)にしか存在しない
となります。
xy平面とzx平面に4分割するとそれぞれの領域に属する体積は等しく4等分されます。
ですからxy平面で区切られた一方(z≧0)とxz平面で区切られた一方(y≧0)の共通部分の体積を4倍しているのです。

No.5 回答者： noname#171582 回答日時： 2012/01/19 22:19

解説書で＊４になっているのは

第I象限のｚ≧０で一個。
第I象限のｚ≦０で一個。

第IV象限のｚ≧０で一個。
第IV象限のｚ≦０で一個。

計4個です。ですから＊４。

一方貴方のは

第I象限＋第IV象限のｚ≧０で一個。
ですので、残り
第I象限＋第IV象限のｚ≦０で一個が必要です。

なので＊２です。

図を描いて、どこの部分の体積か
良く頭の中に入れておく必要があります。

しかし、一番の誤りはやはり被積分関数の
正負問題が発生して、それに対処できずに
正解が出せなかったと診ています。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/18 22:23

>＝（1/2)∫(-π/2→π/2)[-(2/3)(a^2-t)^(3/2)](0→a^2cos^2θ)dθ

×＝(1/2)∫(-π/2→π/2){-(2/3)(a^3-a^3cos^3θ+(2/3)(a^3)}dθ
〇＝(1/2)∫(-π/2→π/2){-(2/3)(a^3)(1-cos^2θ)^(3/2)+(2/3)(a^3)}dθ
〇＝(1/3)(a^3)∫(-π/2→π/2){-(1-cos^2θ)^(3/2)+1}dθ
〇＝(1/3)(a^3)∫(-π/2→π/2){1-(sin^2θ)^(3/2)}dθ
〇＝(1/3)(a^3)∫(-π/2→π/2)(1-|sin^3θ|)dθ
〇＝(1/3)(a^3){∫(-π/2→0)(1+sin^3θ}dθ
+∫(0→π/2)(1-sin^3θ)dθ}

×＝(1/3)(a^3)∫（ -π/2→π/2)(cos^3θ)dθ
以降、間違い。

No.3 回答者： noname#171582 回答日時： 2012/01/18 16:42

回答書にあるように

ｘ、ｙ、ｚ≧０で求積してそれの４倍するのが
間違いを犯すことなく、正解が得られます。

しかし、強引にやると被積分関数の正負問題が
出てきて、ややこしくなり、誤りを犯しやすいのです。

貴方はその間違った例をやったものと思われます。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/01/18 13:01

#1のものです。

#1の回答にも致命的な間違いがありました。修正します。

> ={a^2(sinθ)^2}^(3/2)
> =a^3(sinθ)^3

ここは
=a^3*|sinθ|^3
です。(x^2)^(1/2)=|x| ですね。sinθの積分が消えてしまうところでした。(このままでは奇関数となりθで積分すると消える)

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/01/18 12:16

>よって体積Vを求める式は

>∫（ -π/2→π/2）dθ∫(0→acosθ )√（a^2-r^２）・rdr
まずここに係数として"2"が足りない。
-√(a^2-r^2)≦z≦√(a^2-r^2) ですのでz方向に2√(a^2-r^2)の幅があります。

>（1/2）∫（ -π/2→π/2）[-(2/3)(a^2-t)^(3/2)](0→a^2cos^2θ )dθ
>　＝（1/2）∫（ -π/2→π/2）｛-(2/3)(a^3-a^3cos^3θ+(2/3)(a^3) ｝dθ
致命的なところはここ。
t=a^2(cosθ)^2を代入した値が異なる。
(a^2-t)^(3/2)　のtにa^2(cosθ)^2を代入すると
(a^2-t)^(3/2)={a^2-a^2(cosθ)^2}^(3/2)
=[a^2{1-(cosθ)^2}]^(3/2)
={a^2(sinθ)^2}^(3/2)
=a^3(sinθ)^3
となります。(a-b)^(3/2)はa^(3/2)-b^(3/2)ではないですよ。

(sinθ)^3の積分はさほど難しくはないでしょう。

この回答への補足

＞求める体積はx>=0 y>=0 z>=0の4倍なので
V＝４∬（D）√（a^2-x^２-y^２）dxdy

こちらの係数が４＊２にならないのは何故でしょうか？

補足日時：2012/01/19 15:42