No.1ベストアンサー
- 回答日時:
Nに含まれないGの元xをひとつ取ってきます。
NはGの部分群なので
xN={xg|g∈N}はNと素な集合です。(部分群ではないです)
Nの指数が2なのだからGの左剰余類分解
G=N∪{xN} (∪は非交和)
が得られますが、やはり同様に考えて右分解
G=N∪{Nx} (∪は非交和)
も得られます。一般には集合として
{xN}={Nx}
とはならないのですが、本問では補集合が一致するので、
この式が成り立ちます。
x∈Nであれば、この式は当然成り立ちますから、
任意のx∈Gに対して
xN=Nxがいえます。これはNが正規部分群であることの定義です。
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