No.4ベストアンサー
- 回答日時:
ANo.2,No.3です。
「直辺四面体の対辺の共通垂線」の意味が分かりました。再回答します。仮定が、直辺四面体であること、四面体ABCDにおいて,AB⊥CD,BC⊥AD,AC⊥BDが成り立つこと。
結論が、直辺四面体の対辺の共通垂線は垂心を通ること。
とします。
Aから△BCDにおろした垂線の足をHとします。
ABの中点をM1,CDの中点をN1とします。AB⊥CD(仮定)だから、△ABN1⊥CDより、
M1N1⊥CD(M1はAB上の点)……(1)
△ABN1は二等辺三角形だから、M1N1⊥ABと(1)より、M1N1はABとCDの共通垂線。
ACの中点をM2,BDの中点をN2とする。AC⊥BD(仮定)より同様にして、
M2N2⊥BD……(2)M2N2⊥ACから、M2N2はACとBDの共通垂線。
ADの中点をM3,BCの中点をN3とする。AD⊥BC(仮定)より同様にして、
M3N3⊥BC……(3)M3N3⊥ADから、M3N3はADとBCの共通垂線。
AH⊥△BCDより、AH⊥CD,AH⊥BD,AH⊥BC ……(4)
(1)と(4)よりAH⊥CDだから、M1N1とAHを含む平面はCDに垂直。
よって、M1N1とAHは、同一平面上にあり(平行でないから)1点で交わる。
(2)と(4)よりAH⊥BDだから、M2N2とAHを含む平面はBDに垂直。
よって、M2N2とAHは、同一平面上にあり(平行でないから)1点で交わる。
(3)と(4)よりAH⊥BCだから、M3N3とAHを含む平面はBCに垂直。
よって、M3N3とAHは、同一平面上にあり(平行でないから)1点で交わる。
以上より、対辺の共通垂線と垂線AHは1点で交わる。
他のB,C,Dから対面への垂線についても同様に1点で交わることが示せる。
また、対面への4本の垂線は1点(垂心)で交わるから、
共通垂線は垂心で交わる。よって、共通垂線は垂心を通る。
証明が長くなりましたが、どうでしょうか?
何かあったらお願いします。
長らく私の疑問に付き合っていただきありがとうございます。
おかげで理解することができました。
また宜しくお願いします。
どうもありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
ANo.2です。
お礼ありがとうございます。>直辺四面体であること(つまりAB⊥CD,BC⊥AD,AC⊥BDが成り立つ)および四面体に頂点から
>対面へ下した4本の垂線が1点で交わることは仮定なわけです。
>何度も言いますが証明したのは
>「直辺四面体の対辺の共通垂線が垂心を通ること」
「直辺四面体の対辺の共通垂線」とは、図形的にはどういうものですか?
ここで言う「垂心」とは何なのか図として説明して欲しいです。
(図があればいいですが、問題のABCDなど使って説明して下さい。)
「直辺四面体であること(つまりAB⊥CD,BC⊥AD,AC⊥BDが成り立つ)」と「四面体に頂点から対面へ下した4本の垂線が1点で交わること」は同値なので、どちらか一方を仮定にするのが普通だと思いますが、どうなんでしょうか?
この回答への補足
すみません説明不足でした。
四面体における垂心とは、各頂点からその対面に下した4本の垂線の交点です(したがって垂心を持つ四面体というものには必要十分条件があってそれが直辺四面体であるということなんです)。
直辺四面体の対辺の共通垂線は文字通り一方の辺に垂直でかつその対辺に対しても垂直な直線というものです。
また問題文における仮定は直辺四面体であることのみです(ややこしいことを書いて申し訳ありません)。
No.2
- 回答日時:
>(四面体に頂点から対面へ下した4本の垂線が1点で交わることの必要十分条件は
>直辺四面体であることです)
仮定が、直辺四面体であること、四面体ABCDにおいて,AB⊥CD,BC⊥AD,AC⊥BDが成り立つこと。
結論が、四面体に頂点から対面へ下した4本の垂線が1点で交わること。
とします。
Aから△BCDにおろした垂線の足をH1,Bから△ACDにおろした垂線の足をH2とします。
AH1⊥△BCDより、AH1⊥CD,AB⊥CD(仮定)だから,
CDはABとAH1を含む平面に垂直。
BH2⊥△ACDより、BH2⊥CD,同様に,CDはABとBH2を含む平面に垂直。
CDに垂直な平面2つはどちらもABを含むから、同じ平面である。
よって、AH1,BH2は、同一平面上にあり(平行でないから)1点で交わる。
Cから△ABDにおろした垂線の足をH3とすると、AH1⊥BD,CH3⊥BD,AC⊥BDより、
同様にして、AH1,CH3は1点で交わる。
Dから△ABCにおろした垂線の足をH4とすると、AH1⊥BC,DH4⊥BC,BC⊥ADから
同様にして、AH1,DH4は1点で交わる。
以上より、頂点から対面へ下した4本の垂線は1点で交わる。(その点が垂心。)
でどうでしょうか?
ご回答ありがとうございます。
何か私の説明不足のようですが
直辺四面体の対辺の共通垂線は垂心を通ることを証明せよ。
これの証明をしたいわけです。
つまり直辺四面体であること(つまりAB⊥CD,BC⊥AD,AC⊥BDが成り立つ)および四面体に頂点から対面へ下した4本の垂線が1点で交わることは仮定なわけです。
何度も言いますが証明したのは
「直辺四面体の対辺の共通垂線が垂心を通ること」
です。
No.1
- 回答日時:
四面体が直辺四面体(四面体ABCDにおいて,AB⊥CD,BC⊥AD,AC⊥BDが成り立つ)であることから、
Aから平面BCDに下ろした垂線の足をH1とすればH1は△BCDの垂心である。
BH1とCDとの交点をEとすると、平面ABE上でBからAEに垂線BH2を引くと、
(BH2⊥AE)∧(AEH1⊥CD)であるのでBH2⊥CD
∴BH2⊥平面ACDでありAH1とBH2とは一点Hで交わる。
同様の事がCからABD , DからABCに下ろした垂線CH3およびDH4を引けば、これらは各々2つずつ交わる事になる。
従って同一点Hで会合することになる。
逆に、同一点Hで会合すれば、上の事からAB⊥CD,BC⊥AD,AC⊥BDが示される。
よって直辺四面体の対辺の共通垂線は垂心を通る。
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
質問ですが、「同一点Hで会合→題意が成り立つ」ということでしょうか。
だとしたら、少し飛躍しているなと思ってしまいます。
(四面体に頂点から対面へ下した4本の垂線が1点で交わることの必要十分条件は直辺四面体であることです)
私の思い違いかもしれません。
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