Ｎ個の数字を使って表せる最大の数

計算記号を使わないで１、２、３、４ を一回ずつ使って、できるだけ大きい数を表すにはどうしたらよいでしょうか？
ただし右肩に乗せた累乗を表す図を描く代わりに、べき乗記号 ＾ を使うのはかまいません。また＾は何個使っても結構です。

というクイズを出されました。
２＾３＾４１、３＾４＾２１、４＾３＾２１の３つまで候補をしぼったのですが、値を検証しようとしたところ関数電卓でオーバーフローとなりどれが最大なのか分かりませんでした。
どうしたら最大値をみつけることができるでしょうか？

同様に１２３４５６７８９０を一回ずつ使ってできる最大の数は何でしょうか？
一般にＮ個の数字を使って、できるだけ大きい数を見つけるにはどうすればよいでしょうか？

No.13 回答者： eatern27 回答日時： 2004/01/06 16:16

#12さんのおっしゃる

2^3^4^5^6^7^8^9^10
が一番であることを証明しようとかんばってみました。(穴があったらすいません)

まず、f(x)=(logx)/xとすると、
f(3)＞f(2)≧f(4)＞f(5)＞f(6)＞・・・
となります。よって、
m,n,kは自然数で1<m<n、(m,n)≠(2,3)のとき
f(m)≧f(n)
logm/m≧logn/n
logm/logn≧(m/n)≧(m/n)^k (∵0<m/n<1)
n^k(logm)≧m^k(logn)
∴m^(n^k)≧n^(m^k)・・・☆
となります。(等号成立はm=2,n=4,k=1のみ)
また、
kが自然数であることに注意すると、
3^(2^k)>2^(3^k)⇔k=1ですので、
k≧2のときは、☆が(m,n)=(2,3)でも成り立ちます。

つまり、
a^(b^(c^(・・・^(n^(m^(・・・^(z)))・・・))))
という数字があって(文字は全て異なる２以上の自然数。)
m<nで、m=2,n=3でないとき、
mの指数部分をkとして
a^(b^(c^(・・・^(n^(m^k))・・・))))≦a^(b^(c^(・・・^(m^(n^k))・・・)))・・・◎
となります。(mとnを入れ替えました。)

よって、これを繰り返していくと、a^(b^(c^(・・・(y^z))・・・))は、
(a,b,c・・・y,zを小さい順に並べると2,3,A,B,・・・Y,Zとなれば)
2^(3^(A^(B^(・・・^(Y^Z)・・・)))
3^(2^(A^(B^(・・・^(Y^Z)・・・)))
のどちらかになりますが、☆はk≧2ならば、(m,n)=(2,3)でも成立するので、
2^(3^(A^(B^(・・・^(Y^Z))・・・))
の方が大きくなります。

以上の事から
1234567890の数字を
2,3,4,5,6,7,8,9,10と分けた場合、最大値は
2^3^4^5^6^7^8^9^10となります。

でも、4^5^6^7^8^9^10^23などのように2と3をセットにしたものは考えていませんので、本当に2^3^4^5^6^7^8^9^10が最大かどうかは分かりません。

ですが、多分、2^3^4^5^6^7^8^9^10が一番だと思います。
(ちょっとした根拠はありますが、説明しにくいし、明確な根拠ではないし、何よりもここまで書いていて疲れたので割愛します)

と、いうわけで、2^3^4^5^6^7^8^9^10が最大です。めでたし、めでたし。

No.12 回答者： Freeuser 回答日時： 2004/01/05 18:48

No5のものです。

再びこんにちは。

0123456789についていろいろ考えたんですけど、なかなか証明するのは難しい・・・。

2^3^4^5^6^7^8^9^10が最大ではないでしょうか？
もちろん、カッコつきで書くと
2^(3^(4^(5^(6^(7^(8^(9^10)))))))　です。

最初の直感なんですが、今のところそれを否定するような材料が出てこないんです。
どうでしょう。意見、お願いします。

この回答へのお礼

美しい形ですよね。私の直感もそれなんですが．．．もし証明できたら数学的にも価値のある発見だと素人ながら思うのですが。

お礼日時：2004/01/05 20:45

No.11 回答者： ryuta_mo 回答日時： 2004/01/05 05:45

No9でうそ言った。

2!^3!^41!=6^(1.40501*10^51)
3!^2!^41!=36^(1.40501*10^51)
4!^2!^31!=441^(8.22284*10^33)
一番大きいのは3!^2!^41!=36^(1.40501*10^51) だった。

2!^(3!^41!)=10^(10^(3.03143226233542*10^48))かな？
もうこの辺かぁなり怪しいです。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
Ｎｏ.４、Ｎｏ.６でも補足しましたが、！など数学記号・関数は使えません。
＾は数学記号ではなく、例えばhttp://www.geocities.co.jp/Outdoors-Mountain/959 …と書く代わりに２＾３＾４１と書いてくださいという記述上のお約束です。ご了承ください。

補足日時：2004/01/05 14:27

No.10 回答者： ryuta_mo 回答日時： 2004/01/05 05:23

あれ？

もしかしてa^b^cってb^cを先に計算するのかな？
と言うわけで・・・
2^(3^41)=10^(1.09795*10^19)
3^(4^21)=10^(2.0984*10^12)
4^(3^21)=10^(6.297760159*10^9)

No.9 回答者： ryuta_mo 回答日時： 2004/01/05 05:07

とりあえず

2^3^41=1.06338*10^37
3^4^21=1.19725*10^40
4^3^21=8.50706*10^37
3^412=7.3799*10^200
2!^3!^41!=6^(1.40501*10^51)
3!^2!^41!=36^(1.40501*10^51)
4!^2!^31!=441^(8.22284*10^33)
4321!=9.77349736*10^13834
です。
おそらく4!^2!^31!がこの中では一番大きいかと。
上三つはexcelで普通に計算できます。
4321!はLog(1)+Log(2)+・・・+Log(4320)+Log(4321)
を計算して整数部分と小数部分に分け
(10^(小数部分))*10^(整数部分)
となります。

さすがに9876543210!は手元にあるものでは・・・
プログラム組んでも計算に数時間かかるかも・・・

21!^43!=(5.10909*10^19)^(6.04153*10^52)
もうどんな数字だか予想すらつきません。


4321!!!!!!・・・・!!!!!=計算不可
lim(n->0)(123456789/n)=∞
こんなのもちろんだめですよね？

No.8 回答者： nrb 回答日時： 2004/01/05 00:29

ここでの計算記号定義が問題ですね

＋×LOGその他いろいろは計算記号（計算定義と同一に過程します！やルートなど）
計算定義のうちべき乗記号のみ使えて反則はなし（数学的に）とすると答えはでてるようですね
計算記号を使わないが正解とすると
問題をくそまじめに解釈すると
９かける９・・・・など記号を使用すないのもOKとなります
たぶん
出題した人の考えを越えてるような気がします
てなわけ回答は・・・・・？
となり・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
となります

関数つかって大きいのは思案中です

No.7 回答者： TK0318 回答日時： 2004/01/04 23:26

＃３です。

＃６で４３２１！が出ていますが

4321!<4321^4321<4^3^21 <2^3^41

です。（下記計算で）

ただ!が使えるのでしたら話が変わってきますね。

2!^3!^41!
3!^2!^41!
4!^2!^31!

がありえるわけですから・・・計算は無理ですね。

No.6 回答者： nrb 回答日時： 2004/01/04 21:52

まじまにとなると関数ですか

可能がありそうなもの
４３２１！
１から４３２１まで１増やしてかける
１×２×３・・・・・・４３２１
ログはだめそう
アークタンジェントは可能せいないし・・・だめそう
となると
４３２１！
が今のところ最大かと
考えようと　わからない
難しい超難問ですね

この回答への補足

回答ありがとうございます。！は使えないんです。他の関数もだめです。数学の記号はいっさい使えません。それはまた別の問題ということでご了承ください。
この問題に限って言えば超累乗の形だけで考えてください。

補足日時：2004/01/05 14:14

No.5 回答者： Freeuser 回答日時： 2004/01/04 21:25

対数を使います。

これを使うと、出で来る値が何桁くらいかが求まります。
上の候補の数字の大小関係だけ、しめします。
まず
2^(3^41) > 4^(3^21)
∵
4^(3^21) = (2^2)^(3^21) =2^(2*3^21) < 2^(3^41)


次に、2^(3^41) ・・・(a)　と
　　 3^(4^21)=3^(2^42) ・・・(b)を比べましょう。

(a) について
log(3^41) = 41*log3 = 41*0.477 = 19.56なので、
3^41 = 10^19.56

したがって、log3^(10^19.56)=(10^19.56)*0.477
これがもとの数字の桁数です。桁数が10^20くらい。


(b) について
log(2^42) = 42*log2 = 42*0.301 = 12.64なので、
4^21 = 10^12.64

したがって、log2^(10^12.64)=(10^12.64)*0.301
つまり、桁数は10^13桁くらい。

よって、2^3^41のほうが大きいのではないでしょうか。一般論は、難しいですネェ。また考えて見ます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。分かりやすい説明で納得できました。

お礼日時：2004/01/05 14:11

No.4 回答者： mirage70 回答日時： 2004/01/04 21:24

(2^3)^41,(3^4)^21,(4^3)^21の３つを比べるには、先ず

(2^3)^41,(4^3)^21を比べればよいです。
(2^3)^41=2^123
(4^3)^21={(2^2)~3}^21=2^126よって、
(2^3)^41<(4^3)^21が判ります。
次いで、(3^4)^21,(4^3)^21を比べればよいです。
(3^4)^21,(4^3)^21については、ベキ乗の21は同一ですので、3^4と4^3を比べればよいことになります。
3^4=81,4^3=64で共に１より大きい正の数ですので、
(3^4)^21>(4^3)^21となります。
即ち、(3^4)^21>(4^3)^21>(2^3)^41となり比較出来ます。

この回答への補足

回答ありがとうございます。説明不足でした。＾記号は、左の数字の右肩に指数の形で乗せることを表しています。つまりテキストで書けないので便宜上使っているだけです。数学の計算記号ではありませんのでご了承ください。したがって右→左と計算します。例えば２＾３＾４１＝２＾（３＾４１）です。

補足日時：2004/01/05 14:05