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log2の近似値を小数点以下第四位まで求める問題がわかりません。ちなみにlog2の底はeです。
この問題を解く前にメルカトール級数の等式の証明を行なっています。
メルカトール級数とは、
1-1/2+1/3-1/4+…=log2
の事です。

質問者からの補足コメント

  • log2=1-1/2+1/3+…というのを小数にして第10項まで求めましたが、log2の実際の近似値0.69314…とは誤差があったため、限りなく近い値になる為の計算方法を知りたいです。

      補足日時:2020/09/25 17:46
教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

Excel使ってメルカトル級数を計算してみたけど、50000項でやっと


小数第4位まで合った。
今更言うまでもなく、メルカトル級数を使っての近似値計算は無理。

完全に計算機科学の世界なんだけど、収束の早い計算法の一つで、
Binary Splitting Algorithm method(BSA法)というのがある。

BSA法におけるlog2の計算だと、

log2=Σ[n=1, ∞] 2*( 1/((2n-1)*(3^(2n-1)) )
=2*( 1/(1*(3^1)) + 1/(3*(3^3)) + 1/(5*(3^5)) + 1/(7*(3^7)) + … )

となり、4項で小数第4位まで、5項で小数第5位まで正確に出せる。
(*は掛け算演算子)

メルカトル級数をガン無視しちゃってるし、これはこれで手計算は
つらいけど、こんな方法もあるよってことで。
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この回答へのお礼

Excelでの計算方法を教えていただけますか?

お礼日時:2020/10/06 01:00

どうなんだろ。

フッツーに計算しろ、って問題なのかしら。

> 限りなく近い値になる為の計算方法を知りたいです。

いやさ、例えば「小数点以下第四位辺りまで」正確な値を求めたい、とするでしょ?
そうすると、メチャクチャ誤差を小さくするには、小数点以下第五位辺りになってくるとどんどん影響が小さくなっていく。「理論的には」そうですよね。
ところがだ。
例えば小数点以下第一位、って考えると1/10なのは分かるでしょ?ここまででメルカトル級数の項数が10個ある。
小数点以下第二位、って考えると1/100。メルカトル級数でここに到達するまでは項数が100個ですよね。もうこの辺で息切れしてこないでしょうか?100個も分数を小数に直す?
帰納的に(おお、数学的だ!)、小数点以下第四位を超えて「正確に計算する」前提でいると、メルカトル級数の項数が最低でも1万個必要なんですよ。1万個の分数を小数に直していきますか?ちと洒落にならんですねぇ(苦笑)。

これ、何かの条件で「適当に切り上げる」状態でいないと、人間が計算するにはちょっとアレですよね。
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この回答へのお礼

問題のニュアンスが分からなくて正直困ってましたが、やはり自分の匙加減で切り上げるしかなさそうですね。ありがとうございました。

お礼日時:2020/09/25 18:14

第10項は 1/10 = 0.1 か 1/11 = 0.0909... か, その辺だよね. ってことは


せいぜい 1桁ないし 2桁しか合致しない
んじゃないかなぁ. 計算してないけど.

単純にこの式を使って小数 4位まで計算するには全然足りなくって, 少なくとも 100項, 普通に考えれば 10000項以上の計算が必要になると思うよ.

級数の収束を加速する方法はいくつかあるのでそれを使えばいいのかもしれんけどどういう方法が使えるのかは知らん.
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この回答へのお礼

やはりそうなりますよね。1万項も計算できないと思って困ってました。自分の匙加減で計算をやめて求めたいと思います。ありがとうございました。

お礼日時:2020/09/25 18:15

具体的には何がわからない? その級数しか使えないんだったら選択肢は非常に限定されるよね.



と書いておくけど, 手計算はさすがに無理.
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この回答へのお礼

log2=1-1/2+1/3+…というのを小数にして第10項まで求めましたが、log2の実際の近似値0.69314…とは誤差があったため、限りなく近い値になる為の計算方法を知りたいです。
何かわかれば教えていただけると幸いです。

お礼日時:2020/09/25 17:47

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